Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(2.1)

где коэффициенты -некоторые действительные числа. Для нахождения частных решений уравнения (2.1) составляют характеристическое уравнение

, (2.2)

которое получается из уравнения (2.1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями , причем сама функция заменяется единицей. Уравнение (2.2) является уравнением -й степени и имеет корней (действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные).

Тогда общее решение дифференциального уравнения (2.1) строится в зависимости от характера корней уравнения (2.2):

1) каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида ;

2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида ;

3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

4) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида ;