Дөңес жиындағы функциялардың дөңестігінің әртүрлі формасы

М жиынының дөңес қабыршығы деп М жиынының нүктелерінің барлық мүмкін болатын дөңес комбинациясы <М> жиыны аталады, яғни егер болса, онда <М> және болғанда нүктелерінен тұрады.

Теорема 1. Кез-келген нүктелер жиынының дөңес қабыршығы дөңес жиын болып табылады.

n-өлшемді Евклид кеңістігінде нүктелердің соңғы санынан тұратын жиынның дөңес қабыршығы көрсетілген нүктелер (барлығы да болмауы мүмкін) төбелері, яғни шеткі нүкте болып табылатын
дөңес көпжақ болады. Бұл жерде келесі теорема дұрыс.

Теорема 2. Тұйық дөңес жиынның кез келген нүктесі оның шеткі нүктелерінің дөңес комбинациясы ретінде берілуі мүмкін.

n нүкте бар болсын. А нүктесі олардың дөңес сызықты комбинациясы болып табылады, егер

Нүктелер жиыны дөңес деп аталады, егер ол өзінің кез-келген екі нүктесімен олардың еркін сызықты комбинациясынантұрса. Бұл анықтаманың геометриялық мағынасы мынада, жиынға оның екі еркін нүктесі арқылы оларды жалғастырып тұрған түзу сызықты кесінді де толық тиісті болады.

Дөңес жиындардың мысалы ретінде кесінді, түзу, жартылай жазықтық, шеңбер, шар, куб, жартылай кеңістік және т.б. алуға болады. 10 суретте а,б,в,г жиындары – дөңес, жиыны дөңес болып табылмайды, өйткені кесіндісі бұл жиынға толық тиісті емес.

11-сурет.

Жиын нүктесі шектік деп аталады, егер центрі осы нүктедегі кез-келген шар жиынға жататын, сондай ақ жатпайтын нүктелерден тұрады. Жиынның шектік нүктелері оның шектерін құрайды. Тұйық деп барлық шектік нүктелерді қамтитын жиын аталады. Тұйық жиын шектелген және шектелмеген болуы мүмкін. Жиын шектелген деп аталады, егер берілген жиынды түгелдей қамтитын, центрі жиынның кез-келген нүктесінде орналасқан радиусы шексіз ұзын шар бар болса; кері жағдайда жиын шектелмеген деп аталды. Екі (бірнеше) жиынның қиылысу деп берілген жиындардың ортақ бөлігінен тұратын жиын аталады.

F — f₁ және F₂ дөңес жиындарының қиылысуы болсын(12-сурет). F – тен А₁, А₂ екі еркін нүкте алып, оларды түзу сызықты кесіндімен жалғастырамыз. кесіндісі F₁ және F₂ -ге тиісті, өйткені олар – дөңес жиын болып табылады; осы кесінді F жиынына тиісті, өйткені ол F₁ және F₂. ортақ бөлігі болып табылады. Демек F – дөңес жиын.

Дөңес жиынның бұрыштық нүктелері деп жиынның екі еркін нүктесінің дөңес комбинациясы болып табылатын нүктелер аталады. Мысалы, үшбұрыштың бұрыштық нүктелері оның төбелері, дөңгелектің бұрыштық нүктесі – оны шектеп тұрған шеңбердің нүктелері болып табылады. Осылайша, дөңес жиын бұрыштық нүктелердің шектік және шектік емес санынан тұруы мүмкін. Түзу, жазықтық, жартылай жазықтық, кеңістік, жартылай кеңістік бұрыштық нүктеге ие болмайды.

Дөңес көпбұрыш деп бұрыштық нүктенің соңғы санына ие жазықтықтағы дөңес тұйық шектелген жиын аталады.

Көпбұрыштың бұрыштық нүктелері – оның төбелері, ал екі төбені қосып, шегін құрап тұрған кесінділер – көпбұрыштың жақтары деп атлады. Дөңес көпбұрыштың таяныш түзуі деп өзінің бір жағында орналасқан көпбұрышпен кем дегенде бір ортақ нүктеге ие түзу аталады.

11-суретте MN және FQ түзулері АВСДЕ көпбұрышына таяныш деп аталады.

Дөңес көпбұрыш бұрыштық нүктелердің шектік санына ие үш өлшемді кеңістіктің тұйық шектелген дөңес жиыны аталады. Көп жақтың бұрыштық нүктелері – оның төбелері; көп жақ шектеп тұрған көпбұрыш – жақтары; олар қиылысып тұрған кесінділер – қабырғалары деп аталады. Көпжақтың таяныш жазықтығы деп өзінің бір жағында орналасқан көпжақпен кем дегенде бір ортақ нүктесі бар жазықтық аталады.

12-сурет. 13-сурет.

Теорема 3. Тұйық, шектелген дөңес көпжақ өзінің бұрыштық нүктелерінің дөңес сызықтық комбинациясы болып табылады.