Дәріс Дөңес және ойыс функциялар

n-өлшемді Еⁿ сызықтық кеңістік берілсін. Егер Х-тен алынған кез келген X⁽¹⁾ және Х⁽²⁾ нүктесі және кез-келген үшін

(1.1)

қатынасы орындалса, онда дөңес жиынында берілген f (X) функциясы дөңес деп аталды. Көбіне X жиыны мен Е^п сәйкес келеді немесе теріс емес октант болып табылады.

Егер Х-те алынған кез келген X⁽¹⁾ және Х⁽²⁾ нүктесі үшін және кез-келген үшін

(1.2)

қатынасы орындалса, онда Х дөңес жиынында берілген f (X) функциясы ойыс деп аталады.

Егер f(X) дөңес функция болса, онда f(X) ойыс функция және керісінше. Геометриялық тұрғыда, егер Z= f (X) дөңес бет болса, онда оның кез-келген екі нүктесін қосатын кесінді бетте немесе одан жоғары жатады (11 сурет).

Функцияның дөңес және ойыс екендігі Е^п кеңістігіндегі тек дөңес жиынға қатысты анықталады, сондай-ақ анықтама бойынша барлық үшін кез келген X⁽¹⁾ және Х⁽²⁾ нүктесімен бірге көбінесе нүктелері тиісті болатынын белгілеу қажет. Жиын дөңес болғанда ғана соңғысы тура.

.

11-сурет.

Егер (2.1) және (2.2) теңсіздіктерін қатаң деп санасақ, онда олар болғанда орындалады, онда f(X) функциясы қатаң дөңес (қатаң ойыс) болып табылады.

Геометрияда кез келген екі нүктені қосатын кесінді осы беттен жоғары (төмен) жататынын білдіреді. мәндері үшін қатаң дөңес, үшін қатаң емес дөңес функциялары 11-суретте салынған.

Егер , кез келген дөңес жиында дөңес функция болғанда, онда f (X) функциясы дәл осындай Х жиынында дөңес болады.

Ойыс функциялардың қосындысы ойыс функция деген пайымдауымыз тура болып табылады.

Егер f (X) — дөңес функциясы Е^п кеңістігінің теріс емес октандында берілсе, онда барлық нүктенің , шартын қанағаттандыратын V жиыны дөңес (егер ол бос болмаса).

Теорема 1. f (X) — дөңес тұйық жиынында берілген дөңес функция болсын; онда Х-тағы кез келген локалды минимум f (X) глобалды болып табылады.

Теорема 2. f (X) – X жиынында берілген дөңес функция болсын, сонымен қатар ол X-тың барлық ішкі нүктелерінде өзінің бірінші ретті дербес функциялары арқылы үздіксіз. Х⁽⁰⁾ - орындалатын нүкте болсын. Онда X⁽⁰⁾ нүктесінде глобалды минимумге сәйкес келетін локалды минимум табылады.

f(X) - тұйық дөңес жиынында берілген ойыс функция болсын. Онда X-тағы кез келген f(X) локалды максимум глобалды болып табылады. Егер глобалды минимум жиынның әртүрлі екі нүктесінен алынса, онда ол осы екі нүктелерді қосып тұрған кесіндіде жататын нүктелердің шексіз жиынынан да алынады. Қатаң ойыс функция үшін глобалды максимум табылатын жалғыз нүктесі бар.

f(X) ойыс функциясының градиенті мамксимум нүктесінде нолге тең, егер f(X) – дифференциалднатын функция болса.

Ойық функцияның глобалды минимумы соңғы болғанда, төменнен шектелген жиында оның бір немесе бірнеше шектік нүктесі алынуы керек, егер f(X) функциясы осы жиының әрбір нүктесінде шекті болса.

Дәріс. Дөңес анализ элементтері. Дөңес жиындағы функциялардың дөңестігінің әртүрлі формасы. Куна-Таккер теоремасы. Сызықтық программалаудағы екі жақтылық теориясы