Кінетичне рівняння Больцмана

Розглянемо випадок, коли хімічний потенціал слабо змінюється в просторі (на відстані порядку сталої ґратки). В такому разі носії заряду можна розглядати як вільні носії з законом дисперсії E_n (k) і швидкістю Δ _kE_n (k)/ ħ.

Якщо ж хімічний потенціал слабо змінюється на відстанях порядку і більше довжини хвилі де-Бройля, тоді систему вільних зарядів можна розглядати як класичний ідеальний газ, а всі квантові ефекти замасковані в законі дисперсії E_n (k). Тоді в кінетичних явищах основна роль належить нерівноважній функції розподілу f (r,p,t). Вигляд цієї функції залежить від умов порушення термодинамічної рівноваги. Така задача вперше була поставлена і вирішена Больцманом. Потім Зоммерфельд поширив метод на вироджений електронний газ.

Кінетичне рівняння є рівнянням неперервності для числа заряджених частинок у фазовому просторі.

Виділимо елементарний об’єм цього простору

dΓ=dΓ_rdΓ_p = dxdydzdp_xdp_ydp_z Виходячи зі співвідношення невизначеностей, dxdp_x = h, dydp_y = h, dzdp_z = h, dΓ = h ³.

Число квантових станів електронів для такого елемента фазового простору

і відповідно число електронів у цьому об’ємі

Через час dt число електронів в елементі об’єму dΓ

і зміна числа частинок набуде виразу

Для знаходження шуканого рівняння необхідно врахувати всі процеси, які можуть зумовити зміну числа частинок: а) дифузію, б) дію зовнішніх електричних і магнітних полів, в)розсіювання частинок на порушеннях періодичності ґратки, г) генерацію і рекомбінацію вільних носіїв, їх захоплення і звільнення з рівнів прилипання тощо

Якщо враховувати лише перші три механізми, отримаємо

Нагадаємо, що компоненти p_x, p_y, p_z відіграють роль квантових чисел стану електронів у кристалі, а функція характеризує локальну концентрацію носіїв заряду в стані р.

Тепер розглянемо кожний вклад зокрема.

А) вклад дифузії. Нехай υ – швидкість носія заряду в стані з імпульсом р. Тоді згідно з теоремою Ліувіля про інваріантність фазового об’єму системи число носіїв заряду в об’ємі dΓ в околі точки r в момент часу t дорівнює їх числу в тому ж об’ємі в околі точки r-υt у момент часу t = 0.

=

А це означає

Б) вклад зовнішніх полів

В р -просторі згідно з теоремою Ліувіля

=

А тому функція розподілу змінюється зі швидкістю

В) вклад процесів розсіювання.

Розмір розсіюючи центрів ~10^-7 см, середня швидкість електрона ~10⁷ см/с, час взаємодії електрона з розсіюючим центром ~10^-14 с. Це миттєва взаємодія, удар. За такий час енергія і координата частинки практично не встигають змінитися, проте сильно змінюється імпульс електрона (змінюється напрям імпульсу, а тому розсіювання).

Процес розсіювання зі стану р у стан р' приводить до зменшення . Швидкість цього процесу залежить від ймовірності переходу w (p,p'), величини і числа вільних місць у кінцевому стані р', тобто від [1- ]. Проте, має місце ы зворотний процес. Він пропорційний добутку w (p',p)· ·[1- ].

На підставі принципу макроскопічної оборотності w (p',p)≡ w (p,p').

Остаточно маємо

Тепер об’єднаємо всі отримані залежності

Це і є кінетичне рівняння Больцмана відносно нерівноважної функції розподілу . Для його розв’язку використовують ряд спрощень: 1) інтеграл зіткнень замінюється часом релаксації і 2) мале відхилення від стану термічної рівноваги.

Після початку процесу система виходить на стаціонарний (динамічна рівновага) стан. Тоді і

При малих відхиленнях від рівноважного стану розкладаємо за енергією. Отримаємо рівноважну функцію і добавку

= ,

Тут – поки що невідома векторна функція від енергії.

Остаточно в цьому наближенні отримаємо

Пізніше ми покажемо, що і його врахування приводить до відхилення від закону Ома. Тому зараз розглянемо слабкі електричні поля, при яких немає порушення закону Ома. В такому разі вираз для кінетичного рівняння спроститься:

Далі задача спрощується введенням часу релаксації замість інтегралу зіткнень. Будемо вважати, що електрони при пружному розсіювання не змінюють енергії, оскільки їхня маса значно менша маси частинки, на якій розсіюється електрон. Для прикладу, розсіяння електрона на протоні дає зниження кінетичної енергії електрона на 0,2%.

В такому разі ймовірність розсіяння описується дельта-функцією. Тому p=p'.

Інтеграл зіткнення записують у вигляді

При цьому кінетичне рівняння набуде вигляду

(1)

Це рівняння застосовне при виконанні таких умов: а) плавна зміна рівня хімічного потенціалу, б) малий градієнт теплового поля, в) слабі електричні поля (відсутній розігрів носіїв заряду, виконується закон Ома) і г) неквантуючі магнітні поля (ħΩ < kT).