Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема Кели-Гамильтона и ее применение
Эта теорема имеет важное теоретическое значение и широко применяется в прикладных методах теории управления. Теорема Кели - Гамильтона утверждает, что каждая матрица тождественно удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Пусть характеристическое уравнение матрицы А имеет вид . (4.17) Тогда, по определению, справедливо тождество , (4.18) где О - нулевая матрица. Соотношения (4.17) и (4.18) имеют простой смысл; любая квадратная матрица А, подставленная вместо собственных чисел в (4.17) «аннулирует» свое характеристическое уравнение , т. е. тождественно его удовлетворяет, аналогично тому, как каждый корень удовлетворяет уравнению (4.17). В этом смысле можно сказать, что каждая матрица является корнем своего характеристического уравнения. В более полных руководствах приводятся различные варианты доказательств этого принципиального результата. Следует отметить, что теорема Кели-Гамильтона распространяется на любые квадратные матрицы и не накладывает никаких ограничений на природу собственных чисел. Следовательно, теорема справедлива и для матриц с кратными собственными числами. Можно показать, что полином, который «аннулируется» подстановкой матрицы А, не единственный, ибо если обладает этим свойством, то им обладает и всякий полином, делящийся на . Полином наименьшей степени, обладающий тем свойством, что матрица А является его «корнем», называется минимальным полиномом матрицы. Можно установить, что характеристический полином всегда делится на минимальный полином. Более того, любой полином, обладающий «аннулирующим» свойством, т. е. удовлетворяющий требованию =О, делится на минимальный. Кратное собственное число соответствует вырожденной матрице и ее характеристический полином является минимальным полиномом. Для любой матрицы ее минимальный многочлен единственен. Если все собственные числа матрицы А различны, то ее характеристический и минимальный многочлены совпадают. Рассмотрим пример. Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид Согласно теореме Кели - Гамильтона Подставив в матричное уравнение квадрат и куб матрицы, получим Отметим некоторые полезные применения тождества Кели - Гамильтона: 1) Вычисление целых положительных степеней матрицы. Из равенства следуют равенства , и . Это дает возможность любую положительную степень матрицы А размерности линейно выразить через степеней и матрицу Е. Пример 4.6 Матрица имеет характеристическое уравнение . В силу соотношения Кели - Гамильтона , откуда , , 2) Вычисление отрицательных степеней матрицы. Если матрица А неособенная, то аналогично вышеизложенному можно получить отрицательные степени матрицы А и, в частности, построить обратную матрицу А-1 Пример 4.7 Рассмотрим матрицу В силу соотношения Кели - Гамильтона имеем: , , Из последнего уравнения можно написать , откуда следует Пример 4.8. Рассмотрим матрицу Характеристическое уравнение ее имеет вид . В силу тождества Кели - Гамильтона можно написать Из этого соотношения легко получить отрицательные степени: , , 3) Любой матричный полином n-го порядка можно выразить через n-1 степеней матрицы А и единичную матрицу Е. Это означает, что любой полином или сходящийся степенной ряд от матрицы А может быть представлен в виде линейной комбинации , , ,..., . Например, если А - квадратная матрица размерности , то , (4.19) где , - скалярные числа. Заметим, что любые полиномы от одной и той же матрицы перестановочны между собой и коммутируют по отношению не только к операции сложения, но и умножения. Поэтому над матричными многочленами от одной и той же матрицы можно осуществлять алгебраические операции подобно тому, как это выполняется над скалярными многочленами.
|