Связь между собственными числами и элементами матрицы. След матрицы

Рассмотрим две простые закономерности, связывающие собственные числа и элементы матрицы А. Они вытекают из известной теоремы Виета. Положив в уравнении (4.11) = 0, получим

. (4.12)

Следовательно, свободный член характеристического уравнения равен определителю матрицы А.

Запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей, полагая все собственные числа _i различными:

. (4.13)

При получим

.

Следовательно, определитель матрицы А равен произведению всех собственных чисел _i. Из этого свойства следует, что если хотя бы одно из _i равно нулю, матрица А - особенная.

Уравнение в форме (4.13) дает возможность выразить коэффициенты при различных степенях л через собственные числа. Например, коэффициент при равен

. (4.14)

С другой стороны, раскрывая определитель , найдем, что коэффициент при равен сумме диагональных элементов:

. (4.15)

Таким образом, сумма диагональных, элементов матрицы равна сумме ее собственных чисел.

Ввиду важности этих свойств сумме диагональных элементов присвоено особое название - след матрицы. След матрицы А обозначается Sp А или tr А. Таким образом,

. (4.16)

Справедливы следующие соотношения:

, , , .