П1.7. Решение задач по теории систем

В линейной системе заданы следующие матрицы:

; ; ; .

Требуется найти переходную матрицу и матрицу-столбец вектора состояния системы.

Подставляя в уравнение состояний (в данном примере — стационарной системы)

,

исходные данные, получим,

.

После выполнения операций умножения будем иметь

.

Для нахождения переходной матрицы положим и запишем уравнения в операторной форме

Получим

следовательно, и имеют одинаковые корни характеристического уравнения. Они равны .

Общее решение имеет вид

Дифференцируя его по t, получим

Переходная матрица для рассматриваемой системы имеет следующий общий вид:

Для определения элементов матрицы необходимо задать начальные условия согласно следующей таблице:

Элементы матрицы
Начальные условия

Подставляя эти значения в уравнения, и положив , найдем начальные значения производных. Они определятся следующей таблицей:

		-6	-1

Все значения определяются одной формулой, однако для каждого необходимо найти свою пару постоянных и . Они находятся совместным решением уравнений

полученных из этих уравнений подстановкой . Подстановка начальных условий из приведенных выше таблиц в уравнения осуществляется по следующей схеме:

В результате вычислений получим следующую таблицу постоянных и .

Элементы матрицы
	-1/4	-1/4	5/4	5/4
	5/4	¼	-5/4	-1/4

Подставляя эти значения в соотношение, найдем элементы переходной матрицы. Она будет иметь вид:

.

Легко проверить, что при , .

Для нахождения вектора состояний воспользуемся следующей формулой, учитывая, что , получим

Выполняя умножение матриц, будем иметь:

,

.

Выполняя интегрирование, получим искомый вектор состояния:

.