Ряды Тейлора и Маклорена

Находим последовательно производные от f(x) = cos x.

При x = 0 получаем

Следовательно, формула Маклорена для функции cos x имеет вид

Так как , то

для любого фиксированного вещественного числа x. Таким образом, значения функции cos x могут быть найдены приближенно по формуле

87. Разложение в ряд Маклорена функций e^x, sin x.

1. Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена.

f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.

f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…= 1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена: 1+ .

Найдём области сходимости этого ряда.

при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых х и тем более при любых х. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то =e^c =0. Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞)

e^x =1+ .

2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

f′(x)=cosx=sin(x+ ), f″(x)=-sinx=sin(x+ ),

f″′(x)=-cosx=sin(x+ ), f(4)(x)=sinx=sin(x+ ), …, f(n)(x)=sin(x+ ), …. Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f(4)(0)=0, …, f(2n-1)(0)=(-1)n-1, f(2n)(0)=0.

Исследуем остаточный член ряда.

|Rn(x)|= =

так как |sin(c+(n+1) |≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем следовательно, и .

областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞):

sinx=x- .