Симплексный метод

Симплексный метод поиска оптимума используется для отыскания области оптимума в тех случаях, когда экспериментальная математическая модель процесса сложная, громоздкая, неадекватная или не нужна. Симплекс-планирование заключается в том, что условия первой серии опытов задают в точках с координатами, образующими правильный симплекс (он называется исходным симплексом).

Правильный симплекс - это множество k+1 равноудаленных друг от друга точек, образующих в fc-мерном пространстве выпуклую фигуру. Например, в одномерном пространстве симплекс представляет собой отрезок прямой, в двухмерном - равносторонний треугольник, в трехмерном - тетраэдр и т.д. Грань симплекса содержит k точек k-мерного симплекса. Например, в двухмерном пространстве гранью является сторона треугольника.

После проведения опытов при значениях факторов, соответствующих вершинам исходного симплекса, сравнивают между собой значения откликов в этих точках и определяют «худшую» точку. Ее зеркально отражают в факторном пространстве относительно противоположной грани. Так получают последующие симплексы, приближающиеся к оптимуму.

Основным достоинством симплекс-планирования является то, что на любой стадии эксперимента просто и однозначно определяется направление перемещения предыдущего симплекса. Это позволяет автоматизировать процесс исследования или управления с целью поиска оптимальных условий работы. Кроме того, важным достоинством этого метода является возможность перехода от k-мерного симплекса к (k+1)-мерному симплексу путем прибавления всего одной точки к k-мерному симплексу (прибавляя к равностороннему треугольнику одну точку, получают тетраэдр и т.д.), что дает возможность при необходимости ввести в рассмотрение новый фактор, т.е. от k факторов перейти к (k+1) факторам. Симплекс-планирование может быть использовано для исследования поверхности отклика любой степени, обладающей существенным временным дрейфом. Допускается даже некоторое смещение вершин симплекса, нарушение его правильности и невысокая точность измерения отклика, поскольку можно перемещать симплекс, основываясь лишь на качественной информации. Для реализации симплексного метода движения к оптимуму желательна обработка результатов в темпе эксперимента, так как каждый следующий шаг возможен лишь при известных значениях откликов во всех предыдущих точках.

Последовательность операций при симплекс-планировании ясна из рис. 3.6. На рис. 3.6 изображено положение линий равного

Рис. 3.6. Геометрическая интерпретация симплекс-планирования (у₁>y₂>y₃>...)

отклика для двух факторов (k=2). Вершины симплексов соответствуют условиям опытов, а цифры при них - последовательности проведения опытов. Из опытов, задаваемых координатами вершин исходного правильного симплекса (точки 1, 2, 3), выбирают точку с наихудшим откликом (точка 3), которая зеркально отражается относительно противоположной грани симплекса (стороны 1, 2). Таким образом, получается новый симплекс (точки 1, 2, 4), который после получения отклика в зеркально отраженной точке 4 и сравнения его с двумя оставшимися откликами предыдущего симплекса (в точках 1 и 2), в свою очередь подвергается этой же операции до тех пор, пока не будет достигнута область оптимума. Симплекс как бы поворачивается вокруг граней, с каждым шагом двигаясь в сторону увеличения отклика, т.е. к оптимуму. Таким образом, при перемещении симплекса на каждом шаге требуется реализация лишь одного опыта.

Координаты исходного правильного симплекса или план первой серии опытов (см. рис. 3.6, вершины - точки 1...3) можно выбрать при помощи табл. 3.7, состоящей из k столбцов и (k+1) строки, где k - число факторов. Каждая вектор-строка матрицы соответствует условиям проведения одного из (k+1) опытов исходной серии. Каждый вектор-столбец указывает соответствующие значения факторов в опытах. Отрицательные значения факторов определяются по формуле , а положительные - по формуле , где i=1, 2,..., k - номер фактора. Например, для двух факторов (k=2) используют два столбца и три верхних строки таблицы, для k=3 - три столбца и четыре строки и т.д. до k=7.

Вершина 3 (x₁₃=0, х₂₃=-0,578) симплекса, в которой наблюдается минимальный отклик, является отображаемой и определяет координаты вершины 4 (х₁₄ и x₂₄), зеркально отображенной относительно оставшейся грани 1, 2. Координата зеркально отраженной вершины определяется из геометрических соображений по формуле х_iн=2x_ic-х_ij, где i=1, 2, 3,..., k - число факторов, j= 1, 2, 3,..., k+1 - число опытов; x_iн - i-я координата искомой (новой) точки; x_ic - i-я координата центра грани, относительно которой осуществляется отображение точки с наихудшим результатом; х_ij - i-я координата точки (опыта) j, в которой получен наихудший результат. Координата центра грани симплекса, образованной всеми точками его, кроме отображаемой, определяется по формуле g¹j. Приведенные формулы позволяют определить такие координаты вершины 4: х₁₄=0, х₂₄=1,156. Указанные формулы справедливы и для натуральных значений факторов. Если в двух вершинах симплекса окажется

Таблица 3.7

одинаковое минимальное значение отклика, то решение о направлении движения симплекса принимается случайным образом.

Если в опытах получаются такие значения отклика, что симплекс начинает вращаться вокруг одной из вершин (т.е. одна и та же точка встречается более чем в (k+1)-м последовательных симплексах (см. рис. 3.6 - вращение симплекса вокруг точки 25)), то необходимо повторить опыт, дающий максимальный отклик (на рис. 3.6 опыт № 25). В том случае, если в повторном эксперименте вновь получится максимальное значение отклика, то, вероятно, данная вершина находится в области экстремума (по крайней мере - локального) и поиск оптимума по описанной стратегии можно прекратить. Альтернативным решением является уменьшение грани симплекса (начиная с опыта № 25) для более точного определения именно этого оптимума или проведение опытов в другой области факторного пространства для поиска другого возможного локального оптимума.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем информационный смысл понятия «черный ящик»?

2. Приведите примеры количественных и качественных факторов.

3. Оптимально ли используется факторное пространство в ортогональном планировании второго порядка?

4. Всегда ли нормированные значения факторов в разобранных планах экспериментов равны ±1?

5. Покажите формально, почему ПФЭ типа 2^k не может дать полином второй степени.

6. Основываясь на свойстве ортогональности матрицы плана 2², покажите, как ее можно разбить на два блока так, чтобы систематическая погрешность эксперимента не присутствовала в оценке линейных членов.

7. Всегда ли проверка значимости коэффициентов регрессии должна предшествовать проверке адекватности?

8. Всегда ля среднее арифметическое повторных опытов можно вычислить по формуле ?

9. Составьте матрицу ДФЭ 2^7-4.