Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Крутое восхождение по поверхности шпини





Выше рассмотрены некоторые методы, разработанные в теории планирования эксперимента для решения задачи интерполяции. Используя эту информацию, можно решить задачу о том, как в минимальном объеме эксперимента подобрать значения факторов, обеспечивающих наилучшие условия работы системы. Это задача оптимизации.

Сначала рассмотрим традиционный путь поочередной, однофакторной оптимизации - так называемый метод Гаусса - Зайделя. Пусть требуется экспериментально определить оптимум (для конкретности максимум) отклика у в двухфакторной задаче. На рис. 3.5 крестиками показано решение этой задачи. Сначала задают значение одного фактора – X1, равного X1' и выдерживают X1'=const в первой серии опытов, изменяя с выбранным шагом другой фактор X2 до тех пор, пока измеренное значение отклика у не станет меньше предыдущего. Этот опыт обозначен крестиком в квадрате. Тогда значение X2 этого предыдущего шага фиксируют X2=X2' и дискретно варьируют первым фактором (вторая серия опытов) до тех пор, пока вновь у не станет меньше предыдущего значения. После этого задают X1=X1"=const, а изменяют второй фактор (третья серия опытов) до получения лучшего значения оптимизируемого параметра. Этот алгоритм повторяют до достижения области оптимума в области у1.

Если факторов больше двух, то описанный эксперимент требует большого искусства, трудоемкость увеличивается на порядки.

Многофакторный эксперимент будет значительно короче. Действительно, если в окрестности начальной точки А получить оценку функции отклика (а ПФЭ или ДФЭ позволяют это сделать), то она однозначно определяет градиент у (направление наискорейшего роста отклика), по которому, одновременно изменяя оба фактора сразу, можно значительно быстрее достичь области оптимума (максимума).

Разберем последовательно этот метод движения по градиенту -крутого восхождения по поверхности отклика, называемый также методом Бокса - Вильсона.

Рис. 3.5. Сравнение методов однофакторного эксперимента (х) и движения по градиенту (о) (у12>...>у7)

Обратим внимание на то, что в методе крутого восхождения направление градиента определяется на основании опытов в окрестности точки А, т.е. строго пригодно только для точки А, а мы экстраполируем это направление на всю область факторного пространства. Поэтому необходимо постулировать следующие свойства поверхности отклика: непрерывность, гладкость, одноэкстремальность. Эти свойства позволяют успешно применять метод движения по градиенту. В авиадвигателестроении почти все поверхности отклика удовлетворяют этим свойствам. Обычно за точку А принимают наилучшую комбинацию факторов, известную из априорной информации. Если таких сведений нет или они ненадежны, то положение точки А выбирают случайным способом.

Следующим этапом является планирование экспериментов для решения задачи интерполяции в окрестности точки А. Естественно, для вычисления направления градиента лучше использовать уравнение регрессии с минимальным числом членов - линейное, т.е. вида . Это требует меньшего числа опытов (меньше число неизвестных коэффициентов) и дает возможность использовать дробный факторный эксперимент. Таким образом, чтобы полученное уравнение регрессии было адекватным, а также чтобы оценки коэффициентов при линейных членах не были смешаны с эффектами взаимодействий, необходимо областью эксперимента с центром плана в точке А занять лишь какую-то, достаточно малую, часть факторного пространства. В таком случае мы аппроксимируем действительную поверхность отклика в окрестности точки А плоскостью, что совершенно не мешает правильно определить направление градиента. Поэтому на данном этапе актуален правильный выбор интервалов варьирования. Вообще говоря, это непростая задача, зависящая от точности измерения и фиксирования факторов, кривизны поверхности отклика и диапазона изменения отклика. Наиболее очевидны рекомендации о значении Ji в зависимости от точности измерения факторов. При низкой точности измерения (относительная погрешность более 10 %) применяют широкий интервал варьирования - более 30 % от области определения факторов. При средней точности (относительная погрешность не более 5 %) применяется интервал варьирования не более 30 % от области определения. При высокой точности (d<1 %) применяется средний или узкий (не более 10 % области определения) интервал варьирования.

Решение задачи интерполяции подробно описывалось выше. Итогом решения задачи интерполяции для разбираемой цели оптимизации должно быть адекватное линейное симметричное (значения коэффициентов регрессии не более чем на порядок отличаются друг от друга) уравнение регрессии. Однако, к сожалению, так бывает далеко не всегда.

Если полученное линейное уравнение регрессии неадекватно, то необходимо довести уравнение до адекватного. Напомним, что признаками неадекватности линейного уравнения являются прежде всего превышение экспериментального значения F-критерия над табличным, значимость хотя бы одного эффекта взаимодействия (если при решении задачи интерполяции используется ПФЭ), а также значимость суммы коэффициентов регрессии при квадратичных членах , что косвенно проверяется разностью между значениями b0 и y0 в центре плана: если |b0-y0| превосходит погрешность опыта (пропорциональную Sy), то гипотеза о незначимости коэффициентов bii не может быть принята (однако сумма может быть незначима и при значимых квадратичных эффектах, если они имеют разные знаки).

Типовые действия для получения адекватного описания поверхности отклика линейным уравнением таковы: 1) уменьшение интервалов варьирования факторов; 2) перенос центра плана; 3) достройка плана до ПФЭ, если использовался ДФЭ.

Итак, предположим, что наши усилия увенчались успехом и получено адекватное линейное симметричное уравнение регрессии, аппроксимирующее поверхность отклика в ближайшей окрестности точки А факторного пространства: у=b0+b1x1+b2x2. Технологию движения по градиенту рассмотрим на простейшем примере для двух факторов. Известно, что градиент непрерывной однозначной функции есть вектор: . Составляющие градиента (направления кратчайшего пути к оптимуму) представляют собой частные производные отклика по факторам. Оценками этих производных являются коэффициенты линейного полинома, аппроксимирующего поверхность отклика в окрестности центра плана, - они же коэффициенты регрессии: . Если факторы в опытах, начиная из центра плана, изменять пропорционально значениям этих коэффициентов (b1J1 и b2J2), то будет осуществляться движение в направлении градиента. Эта процедура и называется крутым восхождением. Обобщение на многофакторную задачу делается механически, так как все факторы независимы друг от друга. На практике иногда направление градиента определяют и по неадекватной линейной модели.

Расчет условий опытов, осуществляющих крутое восхождение, следует начать с определения исходных составляющих шагов по градиенту Jibi. Полученные величины могут кратно одновременно изменяться. Это дает условия опытов, находящиеся на том же градиенте, но с другим шагом.

Небольшой шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, при большом шаге можно его не обнаружить, уйдя из области оптимума.

Обычно сначала выбирают шаг DХi по одному из факторов, исходя из удобств изменения в опытах, возможностей контрольно-измерительной аппаратуры, особенностей стендового оборудования и др. Пусть выбран шаг DХ1. Затем определяют кратность выбранного значения DХ1 по отношению к исходному шагу b1J1: d=DХ1/(b1J1).

После этого рассчитывают шаги по другому фактору, обеспечивающие передвижение в опытах по направлению градиента: DХ2=dJ2b2. Для облегчения опытов значения шагов можно округлять, что, как упоминалось выше, допустимо в многофакторном планировании.

Наконец, определяют условия опытов для реализации крутого восхождения. Для этого последовательно прибавляют шаги в направлении градиента к условиям в центре плана:

(3.20)

где i=1, 2,..., k - номер фактора; n=1, 2, 3,... – номер шага в направлении градиента (обычно n£5...10).

Например,

Обычно в практике принято, что крутое восхождение считается эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов, задаваемых значениями Xin (выражение (3.20), даст лучший отклик по сравнению с наилучшим опытом любой предыдущей серии. Когда в одном из реализованных опытов достигнуты оптимальные условия, эксперимент заканчивается.

В том случае, если результат уn опыта, задаваемого значениями факторов Xin, хуже предыдущего значения уn-1, возможны следующие решения. Исследования прекращаются, если значение уn-1 удовлетворяет исследователя. В противном случае: 1) точку Xi(n-1) принять за центр нового плана для получения другого направления градиента и осуществить крутое восхождение по вновь найденному градиенту; 2) уменьшить шаг между точками Xin и Xi(n-1) и провести дополнительные эксперименты для определения оптимума.

В случае, если крутое восхождение неэффективно (удаление от области оптимума отклика), то либо план эксперимента расположен в области оптимума, либо есть грубые ошибки при обработке результатов экспериментов. В первой ситуации следует переходить к симплекс-планированию или планам второго порядка, а во второй - естественно искать ошибки. Крутое восхождение может осуществляться многократно, пока не будет достигнута почти стационарная область.

Если поверхность отклика не имеет особенностей (локальных экстремумов, разрывов, седловин), то движение по градиенту всегда наиболее быстро и просто позволяет достичь оптимума. В теории планирования экспериментов разработаны методы, позволяющие решить задачу оптимизации и для более сложных поверхностей отклика.

Date: 2016-01-20; view: 757; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию