Представление результатов исследований

Для авиационной техники традиционным являлось представление результатов эксперимента в виде графической зависимости - характеристики. В случае однофакторного эксперимента плавная кривая, проведенная через экспериментальные точки, дает полное представление об изменении отклика и позволяет найти его значение в любой точке области определения фактора между х_min и x_max.

При двух факторах результаты эксперимента представляются в виде сетки кривых: значения одного из факторов откладываются вдоль оси абсцисс, а значения второго указываются у соответствующих кривых. Так выглядит, например, обычная характеристика компрессора.

Если появляется третий фактор, например угол поворота входного направляющего аппарата а, то для графического представления результатов эксперимента необходимо построить уже несколько характеристик предыдущего вида, указав на каждой значение а=const, для которого она получена. В подобном случае интерполяция проводится не только между кривыми, но и разными графиками, что неудобно и неточно.

Таким образом, видно, что простота и наглядность - главные достоинства графического представления результатов эксперимента теряются уже в трехфакторной задаче, а при большем числе факторов результаты эксперимента вообще трудно обозримы.

В теории планирования эксперимента, методы которой применимы при любом числе факторов, результаты принято представлять аналитической зависимостью между откликом и факторами у=f(x₁, x₂,..., x_k), называемой уравнением регрессии. Аналитические зависимости результатов эксперимента целесообразны еще и потому, что они все чаще используются в вычислительном эксперименте, проводимом на ЭВМ.

Уравнение регрессии является, по существу, математической моделью изучаемого объекта, так как конкретизирует взаимосвязь между факторами и исследуемым откликом. Таким образом, эксперимент позволяет получить эмпирическую (или статистическую) математическую модель. Статистическими эти модели называются потому, что они получаются в результате статистической обработки многофакторного эксперимента.

Структура статистической модели (вид уравнения регрессии) может быть выбрана произвольно. Если начальные сведения об объекте исследования отсутствуют, то эмпирические модели чаще всего представляются в виде полиномов

(3.1)

первой, второй и значительно реже - третьей степени.

Число членов полинома (3.1) зависит от числа факторов и выбранной степени. Например, если при двух факторах решено представить результаты эксперимента в виде полинома второй степени, то уравнение регрессии (эмпирическая, статистическая модель) будет иметь вид

, (3.2)

т.е. включает свободный член b₀, линейные члены b₁x₁ и b₂x₂, взаимодействие факторов b₁₂x₁ x₂ и квадратичные члены b₁₁x₁² и b₂₂x₂².

Таким образом, поскольку вид уравнения регрессии выбран заранее, то роль эксперимента ng существу сводится к получению данных для вычисления неизвестных коэффициентов b₀, b_i, b_ij, b_ii, … уравнения регрессии, называемых коэффициентами регрессии.

Каждая осуществленная экспериментальная точка (проведенный опыт), т.е. совокупность заданных значений факторов (x₁, x₂,..., x_k) и полученное в результате измерения соответствующее значение отклика у, после подстановки, например, в (3.2) дает одно уравнение для определения неизвестных коэффициентов уравнения регрессии. Независимо от выбранной степени полинома это уравнение будет линейным относительно коэффициентов регрессии b₀, b_i,... Чтобы определить N неизвестных коэффициентов уравнения регрессии, необходимо, таким образом, осуществить не менее N опытов, а затем составить и решить систему N линейных уравнений.

В полиномах третьей степени число членов, а следовательно, и число опытов для определения коэффициентов при них резко возрастают. Например, для двух факторов N=10. Поэтому в планировании эксперимента полиномы степенью более двух практически не используются из-за резкого увеличения объемов работ по проведению опытов и их обработке. В то же время известно, что тяга и расход топлива Р, G_т=f(р*_в, Т*_в, n_пр) в широком диапазоне изменения факторов удовлетворительно аппроксимируются лишь полиномами четвертой степени. В этом случае приходится прибегать к преобразованию отклика. Например, если целевые функции представить в виде у=у₀^-1(у_эксп-у₀), то указанные зависимости хорошо описываются уравнениями второй степени. В этом случае у_эксп - значения Р_пр, G_{т пр}, полученные, например, согласно обычным формулам приведения к САУ, а у₀ - базовые значения Р_{0 пр}, G_{т 0 пр} при том же значении n_пр. В качестве базовой характеристики можно принять дроссельную. Чтобы еще уменьшить степень аппроксимации, за базовую характеристику можно принять какую-либо из высотно-скоростных.