Геометрический смысл предела функции в точке

Неравенство (1) означает, что , а неравенство (2) означает, что .

Геометрический смысл предела: если - предел функции в точке , то какую бы маленькую -окрестность числа А мы не взяли, всегда найдется такая d- окрестность точки , для которой все точки кривой с абсциссами из попадут в эту окрестность т.е. в полосу шириной 2ε, ограниченную прямыми у =А – ε и у =А + ε (за исключением быть может самой точки ).

Т.1.1. Функция может иметь только один предел при .

Т.1.2. Если функция () для всех х из некоторой проколотой окрестности точки и в точке функция имеет предел, то ().

О.1.2. Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Т.1.3. (об ограниченности)

Если , где А – конечное число, то функция является ограниченной в некоторой окрестности точки .

Т.3.3. (об ограниченности обратной функции)

Если , то функция является ограниченной в некоторой окрестности точки .

Вопрос 2. Односторонние пределы.

В определении предела функции считается, что любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки . Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

О.2.1. Число () называется пределом функции слева (справа) в точке , если для любого числа найдется такое число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству (), выполняется неравенство ().

Обозначение:

Предел слева (левосторонний предел): или .

Предел справа (правосторонний предел): или .

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливает следующая теорема.

Т.2.1. (необходимое и достаточное условия существования предела функции в точке)

Для того чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между собой односторонние пределы и . В этом случае

= = .