Предел функции на бесконечности

Кроме рассмотренных понятий предела функции при и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, т.е. при и .

О.2.2. N-окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество точек , для которых выполняется неравенство , т.е. .

Пусть функция определена на промежутке .

О.2.3. Число называется пределом функции на бесконечности (при ), если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение:

О.2.4. Число называется пределом функции при х ® +¥ (х ® –¥), если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Вопрос 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

О.3.1. Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если .

Аналогично определяется бесконечно малая функция при , : во всех этих случаях .

Бесконечно малые функции называются иначе бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми и обозначаются обычно греческими буквами α, β, γ,…

О.3.2. Число А называется пределом функции в точке , если функция является бесконечно малой в данной точке.

Т.3.1. (связь бесконечно малых функций и пределов)

Для того чтобы число А было пределом функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде , где - бесконечно малая функция при .