Свойства функций, непрерывных на отрезке

Т.5.4. (первая теорема Больцано – Коши)

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков. Тогда существует точка сÎ(а;b), в которой f(с) = 0.

Геометрический смысл: Если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ох на другую, то она пересекает ось Ох.

Теорема 5.4 является частным случаем более общего утверждения.

Т.5.5. (вторая теорема Больцано – Коши)

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а;b], причем f(а)=А, f(b)=В и А¹В. Тогда для любого числа С, расположенного между А и В (А<С<В), найдется такая точка сÎ(а;b), что f(с)=С.

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Т.5.6. (первая теорема Вейерштрасса)

Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а;b], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание.

Теорема 5.6 неверна, если отрезок [а;b] заменить интервалом (а;b). Например, функция непрерывна на интервале (0, 1), но не ограничена на нем, так как .

Т.5.7. (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

На рисунке: ; .

Следствие.

Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а;b], а m и М – ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, то областью значений функции является отрезок [m;М].