Теорема о движении центра масс механической системы. Рассмотрим движущуюся систему мат

Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М₁, М₂, М_i, M_n, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством

r_c = ∑m_ir_i/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид

m_i d²r_i/dt² = P_i^E + P_i^J; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:

∑m_i d²r_i/dt² =∑ P_i^E + ∑ P_i^J (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (r_c = ∑m_ir_i/m) получаем: ∑m_i d²r_i/dt² = d²/dt² * ∑m_i r_i = d²/dt² * (mr_c) = md²r_c/dt². Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение (а) приобретает вид: md²r_c/dt² = ∑P_i^E = R^E или

ma_C = ∑ P_i^E = R^E (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

Проецируя на оси x, y, z – mx_C = ∑ X_i^E = X^E

2. Теорема о моментах инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Допустим, что задана ось Oz₁. Для доказательства теоремы проведём через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz₁, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz₁ (рис а, в). Обозначим d – расстояние между осями Cz и Oz₁. для вычисления моментов инерции тела относительно осей Cz и Oz₁ опустим из каждой точки M_i рассматриваемого тела перпендикуляры r_i и h_i на оси Cz и Oz₁. Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:

r_i² = x_i² + y_i², h_i² = x_i² + (y_i – d)² = x_i² + y_i² + d² – 2y_id = r_i² + d² – 2y_id. (a)

Определим моменты инерции тела относительно осей Cz и Oz₁:

J_Cz = ∑ m_ir_i², J_z1 = ∑ m_ih_i².

Применив зависимость (а): J_z1 = ∑ m_ir_i² + ∑ m_id² – 2∑m_iy_id. (в)

Здесь ∑ m_i = m. – масса тела. Из формулы y_c = ∑ m_iy_i/m, получим:

∑ m_iy_i = my_c, так как y_c = 0, то ∑m_iy_i = 0. Подставляя это значение в равенство (в), получаем зависимость, установленную теоремой:

J_z1 = J_cz + md². (г). Формула (г) показывает, что из совокупности паралельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент тв. тела относительно центра масс: J_c = ½ * (J_cx + J_cy + J_cz). Отсюда следут, что ценр масс тела явл. полюсом, относительно которго полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.

Воспользуемся формулой (г) для установления зависимости между радиусами инерции твёрдого тела i_cz и i_z1 относительно осей Cz и Oz_1.

J_z1 = mi_z1², J_cz = mi_cz², тогда mi_z1² = m_cz² + md², откуда i_z1² = i_cz² + d².

3. Теорема об изменении количества движения механической системы.

Изменение количества движения мех. сис. за некотрый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил приложенных к системе за тотже промежуток времени.

K = ∑ m_кυ_к; K = ∑ m_кdr_к/dt = d/dt * ∑m_кr_к = d/dt * mr_c = mdr_c/dt = mυ_c => K = mυ_c. Найдём призводную: dK/dt = d(mυ_c)/dt = mdυ_c/dt = ma_c

Но из теоремы о движении ценра масс мех. сис. ma_c = R^E = ∑ P_к^E; dK/dt = ∑ P_к^E. Проинтегрируем это выражение: ∫_к1^к2 dK = ∫_t1^t2∑P_к^Edt;

k₂-k₁=∑S_к^E – ч.т.д.

6. Теорема о работе силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Предположим, что точка приложения постоянной по модулю и напрвлению силы Р получает совокупность последовательных перемещений u₁, u₂, …, u_n (рис выполнен для n = 3). Результирующее перемещение точки М: u = u₁ + u₂ +…+u_n. Работа силы Р на этом перемещении определяется по формуле: A = Pu = P(u₁ + u₂ +…+u_n). полученная сумма представляет собой сумму работ силы на составляющих перемещениях. Т.о., A = A₁ + A₂+…+ A_n.

На основании этой теоремы при вычислении работы постоянной силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным. При u = 0, т.е. в случае замкнутого контура, работа постоянной силы = 0.

8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил. Для этого разделим силы.действующие на точки М_1, М_2, М₃, …, М_n, на внешние силы P₁^E_, Р₂^Е, …, Р_i^E, …, Р_n^Е и внутрение силы P₁^J, P₂^J, P_i^J, …, P_n^J. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка М_i перемещается из М_i(1) в M_i(2), причём скорость её изменяется от υ_i(1) до v_i(2) (рис.).

Тогда по уравнению mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑ A_i для каждой материальной точки

(m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) – (m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) = A_i^E + A_i^J_, (i = 1, 2, …, n),

где A_i^E - работа силы Р_i^E и A_i^J _­- работа силы P_i^J на перемещении М_i(1) M_i(2). Просумируем левые и правые части составленных n равенства: (∑(m_i^υ2_i / 2))₂ – (∑(m_i­­υ_i² / 2))₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J.

Согласно T = ∑T_i, (∑(m_iυ_i² / 2)) = T₁ – кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(m_iυ_i² / 2))₂ = T₂ – кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

T₂ - T₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J. (a)

Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.

Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑A_i^J = 0.

Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид

T₂ - T₁ = ∑A_i^E,

т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

9. Определение динамических реакции при вращении тв. тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим тв. тело под действием приложенных к нему внешних сил Р₁^Е, Р₂^Е,…, Р_n^E. Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, приложим к каждой точке тела М_к силу инерции Ф_к. При неравномерном вращении эта сила состоит из Ф_к^ω – вращ. и Ф_к^ε – центроб. состояния силы инерции. Применим принцип освобождения от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакции. На основании принципа Даламбера все силы должны удовлетворять уравнению:

P^E + R_A + R_B + Ф^A = 0,

M_A^E + M_A^RA + M_A^RB + M_A^ФA = 0

Или спроецируем на оси координат: получим новую систему линейных уравнений:

∑ x_к^E + x_A + x_B + ∑ P_кx = 0

∑ y_к^E + y_A + y_B + ∑ Ф_кy = 0

∑ z_к^E + z_A = 0

∑ M_кx^E – y_Bh + ∑ M^Ф_кx = 0

∑ M_кy^E + x_Bh + ∑ M^Ф_кy = 0

∑ M_кz^E + ∑ M_к^Ф = 0

10. Вывод общего уравнения динамики.

Если система получит возможное помещение при котором каждая точка имеет возможное перемещение δS_к, то сумма работ этих сил на перемещении δS_к должна быть равна 0.

Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0,

(k = 1, 2, …, n). Просуммируем все n уравнения:

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0

Положим, что связи в рассматриваемой мех. сис. двухстороннеидеальные тогда ∑ работ рекции связи = 0, тогда

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) =0