Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме

Волновое уравнение для :

Где - это различные компоненты векторов .

Волна плоская, т.к. фронт распространения волны представляет собой плоскость.

Имеем систему координат, точку на фронте волны ,

нормаль к фронту волны . Тогда уравнение фронта волны (т.е. плоскости): . Но т.к. эта плоскость движется, то появляется зависимость от времени.

Если фронт волны- сфера, т.е. волна сферическая, то уравнение фронт а волны и:

Учтём обстоятельство, что форма фронта волны налагает на некоторые ограничения. Введём некоторые вспомогательные координаты:

И будем упрощать оператор . Можно перейти от () к (). Рассчитаем и , где функция - сложная.

Рассмотрим компоненту: . Тогда:

Следовательно:

Это для случая плоской монохроматической волны. В результате имеем:

Тогда оператор

Итак, , тогда .

где . Следовательно,

Тогда , где и

Выясним, как происходит движение фронтов волны для 1 и для 2 случаев:

1 случай:

,

Получили, что фронт волны перемещается. Продифференцируем (*) по времени:

где - фазовая скорость. Тогда . Для среды , для вакуума

, тогда . Для вакуума

2 случай:

,

Продифференцируем (**) по времени:

- фазовая скорость

И мы поучили, что фронт волны распространяется в обе стороны. Если волна не встречает препятствий, то решение - и , иначе решение усложняется.