Кинематика. 36По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории

36 По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории.

а)

б)

в)

Ответ: а)y=0,5x-4; б)y=4/3x; в)x²+y²=9.

Рисунок 34 – К задаче 35

37 Закон изменения расстояний движущейся точки задан уравнением: (S – в метрах, t – в секундах). Найти среднюю скорость точки за первые 2 с движения, истинные скорость и ускорение в начальный момент времени и при t =2 с, остановится ли точка, а если да, то когда? Точка движется по окружности радиуса R =3 м.

Ответ: 1 м/с; -1 м/с; 3 м/с; 2,03 м/с²; 3,61 м/с²; да; 0,5 с.

38 Точка движется по окружности радиуса R =10 м. Движение точки описывается уравнением: (S – в метрах, t – в секундах). Построить графики расстояния и скорости для первых четырех секунд движения. Какой путь пройдет точка за первые 4 секунды? Успеет ли точка обойти полностью окружность за 4 секунды?

Ответ: 20 м; нет.

39 Движение точки задано уравнением: (S – в метрах, t – в секундах). Точка движется по окружности радиуса R =4 м. Найти скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени t =2 с от начала движения.

Ответ: 31 м/с; 16 м/с²; 240 м/с²; 241 м/с².

40 Точка движется, подчиняясь закону: (S – в метрах, t – в секундах). Определить среднюю скорость точки за первые две секунды движения, истинную скорость в конце второй секунды и через сколько времени точка остановится.

Ответ: 2,4 м/с; 1,2 м/с; 3с.

41 Точка движется по окружности радиуса R =2 м так, что проходимые ею расстояния изменяются по закону: (S – в метрах, t – в секундах). В момент t =1 с точка имела скорость υ =0,5 м/с. Определить касательное и нормальное ускорения точки в конце второй секунды движения.

Ответ: 0,5 м/с²; 0,5 м/с².

42 Точка совершает движение по окружности радиуса R =25 м согласно закону: (S – в метрах, t – в секундах). Найти полное ускорение точки в тот момент, когда ее скорость υ =15 м/с.

Ответ: 10,8 м/с².

43 Точка начинает движение по окружности радиуса R =3 м согласно закону: (S – в метрах, t – в секундах). Определить угол между полным ускорением и радиусом в конце второй секунды движения. В какой момент времени этот угол будет равен 45º?

Ответ: 26º30´; 1,41 с.

44 Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути S =1200 м, считая, что замедление постоянно.

Ответ: -5,14 м/с².

45 Точка движется равноускоренно по окружности радиуса R =25 м. Имея начальную скорость 2 м/с, она за 2 минуты прошла 1000 м. Найти скорость и полное ускорение точки в конце этого пути.

Ответ: 14,7 м/с; 8,668 м/с².

46 Точка, движущаяся по окружности R =1 м со скоростью 20 м/с, начала равномерно разгоняться, и через 5 секунд ее скорость стала 100 м/с. Определить ускорение точки через 3 секунды после начала разгона.

Ответ: 4624 м/с².

47 При какой посадочной скорости самолеты могут приземляться на посадочной полосе аэродрома длиной 800 м при торможении с замедлением 5 м/с² ?

Ответ: 89,4 м/с.

48 Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении радиуса R =1 км.

Ответ: 25 м/с; 0,708 м/с².

49 При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 минуты после отхода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 минуты после момента отхода от станции.

Ответ: 1/9 м/с²; 2/9 м/с²; 0,25 м/с².

50 Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности R =800 м и проходит путь S =800 м, имея начальную скорость υ₀ =54 км/ч и конечную υ =18 км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по этой дуге.

Ответ: 0,308 м/с²; 0,129 м/с²; 80 с.

51 Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/с² ?

Ответ: 21 удар.

52 Камень, брошенный вертикально вниз без начальной скорости, в момент соприкосновения с землей имеет скорость 100 м/с. Определить высоту, с которой был брошен камень.

Ответ: 510 м.

53 Точка движется прямолинейно, имея начальную скорость 8 м/с с постоянным ускорением а = – 0,8 м/с². Когда скорость точки достигла нуля, то она, нисколько не задерживаясь, двинулась с ускорением а = 0,5 м/с². В тот момент, когда скорость точки снова достигла 8 м/с, она стала двигаться равномерно и через 10 с внезапно остановилась.

Определить, на каком расстоянии от начала отсчета оказалась точка в конце движения. Построить графики расстояния, скорости и ускорения.

Ответ: 184 м.

54 Точка движется прямолинейно из состояния покоя с постоянным ускорением а = 0,8 м/с² и через 15 с равноускоренного движения начинает равнозамедленное движение, и в последующие 20 с скорость точки уменьшилась до 6 м/с. Сохраняя эту скорость, точка движется равномерно еще 20 с и внезапно останавливается. На каком расстоянии оказалась точка в конце движения? Построить графики расстояния, скорости и ускорения.

Ответ: 390 м.

55 Точка двигалась равномерно в течение 20 с и прошла путь 100 м. С начала 21-ой секунды и до конца 30-й скорость точки равномерно возросла до 8 м/с, и с этой скоростью точка двигалась равномерно еще 20 с, а затем последовало равнозамедленное движение до остановки через 20 с. Определить: 1) весь путь, пройденный точкой; 2) среднюю скорость точки на этом пути; 3) ускорение точки за 5 с до остановки, если в это время она двигалась по дуге окружности радиуса R =10 м; 4) построить графики расстояния, скорости и касательного ускорения.

Ответ: 405 м; 5,79 м/с; 0,566 м/с².

56 Маховик вращаетсясогласно закону: (φ – в радианах, t – в секундах). Определить, в какой момент времени от начала вращения маховик будет иметь угловую скорость, соответствующую 180 об/мин и каковы будут в этот момент скорость, нормальное и касательное ускорения точек, расположенных на ободе маховика, если его радиус R =0,6 м.

Ответ: 6,28 с; 11,3 м/с; 213 м/с²; 1,8 м/с².

57 Вентилятор при пуске вращается по закону: (φ – в радианах, t – в секундах). Определить ускорение точки А, лежащей на окружности колеса радиуса R_A =1 м, в конце 2-й секунды, если в этот момент нормальное ускорение точки В, находящейся на окружности радиуса R_В =0,5 м, равно 4,5 м/с².

Ответ: 10,98 м/с².

58 Диск вращается из состояния покоя, угол поворота его изменяется согласно уравнению: (φ – в радианах, t – в секундах). Определить: 1) скорость точки на ободе диска в момент t =3 с, если диаметр диска d =0,5 м; 2) какую частоту вращения имел бы диск, если, начиная с конца 3-ей секунды от начала вращения, он начал вращаться равномерно.

Ответ: 4,71 м/с; 180 об/мин.

59 В течение 15 с вращение вала происходит согласно уравнению: (φ – в радианах, t – в секундах). Определить: 1) угловую скорость вала в начальный момент времени и в конце 15-й секунды; 2) угловое ускорение в эти же моменты времени; 3) сколько оборотов совершил вал за 15 секунд.

Ответ: 20 с^-1; 357,5 с^-1; 0; 45 с^-2; 316 об.

60 Определить, за какое время, считая с момента начала движения по уравнению (φ – в радианах, t – в секундах), тело достигнет угловой скорости 70 рад/с. Сколько оборотов за это время успеет совершить тело, и какой величины достигнет угловое ускорение?

Ответ: 4,25 с; 18,1 об; 30,6 с^-2.

61 Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно; через 10 минут после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4π рад/с. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 минут?

Ответ: 600 об.

62 С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращающийся с угловой скоростью, равной 40π рад/с, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если считать вращение пропеллера равнозамедленным?

Ответ: 8с.

63 Маховик вращается с постоянной частотой. Вследствие выключения движущих сил он начал вращаться равнозамедленно и остановился через 20 с, сделав до остановки 40 оборотов. Определить начальную частоту вращения маховика и скорость точки на его окружности в момент выключения движущих сил. Радиус маховика R =0,7 м.

Ответ: 240 об/мин; 17,6 с^-2.

64 Винт самолета, имевший угловую скорость, соответствующую частоте вращения n =1500 об/мин, после выключения двигателя сделал до остановки 100 оборотов и остановился. Определить время, прошедшее от момента выключения двигателя до остановки винта и его угловое замедление, считая вращение в этот период равнозамедленным.

Ответ: 8 с; 19,6 с^-2.

65 Тело начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и по истечению 10 с от начала вращения имеет угловую скорость ω =6π с^-1. Определить угловое ускорение тела и количество оборотов, которое сделало тело от начала вращения за 10 с.

Ответ: 1,88 с^-2; 15 об.

66 Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется со скоростью 0,5 м/с, а некоторая точка В, взятая на одном радиусе с точкой А, движется со скоростью 0,1 м/с; расстояние АВ =0,2 м. Определить угловую скорость и диаметр шкива.

Ответ: 2 с^-1; 0,5 м. Рисунок 35 – К задаче 66

67 Уравнение движения конца пропеллера, отстоящего от оси вращения на расстоянии ℓ =1,2 м, при пуске мотора S = 2,25 πt² (S – в метрах, t – в секундах). Конец пропеллера движется в течение 8 с согласно этому уравнению, а затем пропеллер вращается с постоянной угловой скоростью. Определить: 1) постоянную угловую скорость пропеллера; 2) угловое ускорение пропеллера во время пуска мотора; 3) касательное и нормальное ускорения конца пропеллера.

Ответ: 1)94,2 с^-1; 2)11,8 с^-2; 3)14,1 м/с;

10600 м/с².

68 Вал радиуса R =10 м приводится во вращение гирей F, привязанной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением: х=100t², где х – расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в см; t – время в секундах. Определить угловую скорость ω и угловое ускорение ε вала, а также полное ускорение точки на поверхности вала в момент времени t =3 с.

Ответ: 60 с^-1; 20 с^-2; 360 м/с². Рисунок 36 – К задаче 68

69 От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам. Ширина реки 800 м; лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м. Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки, скорость лодки относительно берегов. Скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой.

Ответ: 3 км/ч; 4 км/ч; 5 км/ч.

70 Расстояние между Ярославлем и Рыбинском по Волге 90 км. Скорость течения реки 4 км/ч. «Метеор» идет из Рыбинска в Ярославль 1 час 20 минут. Сколько времени идет этот «Метеор» из Ярославля в Рыбинск? Стоянку в Тутаеве не учитывать.

Ответ: 1 час 30 мин.

71 Между двумя городами по реке ходит теплоход. По течению он идет 5 часов, а против течения 8 часов. Найти скорость теплохода относительно воды и расстояние между городами, если скорость течения реки 4 км/ч.

Ответ: 17,3 км/ч; 106,5 км.

72 Вертолет при вертикальном подъеме у земли имеет скорость 3 м/с. При этом ротор вертолета вращается с угловой скоростью ω =25 с^-1. Найти абсолютную скорость точек ротора, находящихся на расстоянии 0,6 м от вертикальной оси вращения.

Ответ: 15,3 м/с.

Ответ: 240 м/с. Рисунок 37 – К задаче 73

74 Сверло диаметром 12 мм вращается с частотой 120 об/мин, имея подачу 0,3 мм/об. Определить абсолютную скорость наиболее удаленной от оси вращения точки режущей кромки сверла.

Ответ: 0,0754 м/с.

75 При обработке конуса на токарном станке продольная подача 0,2 мм/об, поперечная – 0,05 мм/об. Определить абсолютную скорость вершины резца, если заготовка вращается с частотой 240 об/мин.

Ответ: 0,825 мм/с.

76 Колесо радиуса R =0,5 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути; скорость центра его постоянна и равна υ₀ =10 м/с. Найти скорости точек М₁, М₂, М₃ и М₄. Определить его угловую скорость.

Ответ: 0; 14,14 м/с; 20 м/с; 14,14 м/с; 20 с^-1.

77 Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью ω₀ =2,5 с^-1 вокруг оси О неподвижной шестерни радиуса r₂ =15 см, приводит в движение насаженную на его конец А шестерню радиуса r₁ =5 см. Определить величину и направление скоростей точек А, B, C, D и Е подвижной шестерни, если СЕ перпендикулярно ВD.

Ответ: 0,5 м/с; 0; 0,707 м/с; 1 м/с.

78 Скорость ползуна кривошипно-ползунного механизма в положении, указанном на рисунке, равна 50 м/с. Определить угловую скорость кривошипа. АВ =400 мм, ОА =150 мм.

Ответ: 377 с^-1.

79 Определить скорость точки В кривошипно-ползунного механизма, если угловая скорость кривошипа ω₀ =3 рад/с, ОА =0,5 м, АВ =2 м, α =30º.

Ответ: 0,91 м/с.

Рисунок 41 – К задаче 79 Рисунок 42 – К задаче 80

80 Определить угловую скорость шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость υ_А =3 м/с, а длина шатуна АВ =1 м.

Ответ: 3,46 с^-1.

81 Скорость груза 1 υ =0,5 м/с. Определить угловую скорость подвижного блока 2 и скорость груза 3, если радиус блока 2 R =0,1 м.

Ответ: 2,5 с^-1; 0,25 м/с.

82 Блоки 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей О₁ и О₂ с угловыми скоростями ω₁ =4 рад/с и ω₂ =8 рад/с. Определить угловую скорость подвижного блока 3. Радиусы всех трех блоков одинаковы и равны r =0,1 м.

Ответ: 2 с^-1.