Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля

Поперечное сечение тонкостенных авиационных конструкций в ряде случаев, например, сечения крыла или фюзеляжа, имеют форму многосвязного сечения, т.е. сечение имеет не одну, а большое число полостей. В этом случае решение осложняется. Для определения напряжений и угла закручивания приходится решать систему линейных алгебраических уравнений; число уравнений равно числу внутренних полостей сечения. Рассмотрим кручение многосвязного профиля крыла, приведенного на рис. 3.49.

Рисунок 3.49

Схема расчета остается той же самой при любом числе внутренних полостей и форме сечения. На рисунке приведено сечение крыла, которое схематизировано тремя тонкостенными контурами. Введем обозначения:

F₁, F_{2 ,} F₃ – площади, ограниченные средними линиями контуров;

δ₁, δ₂, δ₃ – толщины стенок контуров;

δ₁₂, δ₂₃- толщины стенок между контурами;

q_1, q₂, q₃ – потоки касательных напряжений в контурах.

Поток касательных напряжений, возникающий внутри области, занятой сечением, можно представить, как сумму трех потоков, каждый из которых охватывает один из контуров. Поток в каждой из внутренних стенок представим как разность двух основных потоков, возникающих в этой стенке:

q₁₂= q₁ – q₂,

q₂₃= q₂ – q₃.

Для решения задачи воспользуемся зависимостями для определения относительного угла закручивания и касательных напряжений при кручении бруса тонкостенного сечения:

M_x= τ(s)´δ(s)´2F_к =q(s)´2F_к

После преобразований получим:

(1)

В силу совместности деформирования относительные углы закручивания каждого из контуров θ₁, θ₂ θ₃ равны между собой и равны относительному углу закручивания сечения в целом θ:

θ= θ₁= θ₂=θ₃

Применим соотношение (1) для каждого из контуров:

Дополним систему трех уравнений уравнением:

M_x = M_1x + M_2x + M_3x = 2q₁F₁ + 2q₂F₂ + 2q₃F₃, где:

M – полный скручивающий момент;

M_1x, M_2x, M_3x – моменты, передаваемые каждым из контуров.

Полученную систему уравнений преобразуем к виду:

2GF₁θ=(q₁ S_ABC)/δ₁ + ((q₁-q₂) S_CA)/δ₁₂

2GF₂θ=((q₁ - q₂) S_AC)/δ₁₂ + (q₂ S_CD+EA)/δ₂₄ + ((q₂-q₃) S_DE)/δ₂₃

2GF₃θ = ((q₂-q₃) S_ED)/δ₂₃ + (q₃ S_DHE)/δ₃₄

M_x = 2q₁ F₁ + 2q₂ F₂ + 2q₃ F₃, где

S_ABC, S_CA, S_CD+EA, S_DE, S_DHE – длины средних линий соответствующих контуров.

Решение полученной системы четырех уравнений позволяет определить неизвестные потоки касательных напряжений q₁, q₂, q₃ и относительный угол закручивания сечения θ.