Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил

Перерезывающие силы Q(x) и изгибающие моменты М(x) изменяются по длине стержня и являются функцией положения сечения. Перерезывающие силы Q(x) и изгибающие моменты М(x) вычисляют по формулам:

Q(x)= +

M(x)= + + , где

P_i – сосредоточенные поперечные силы;

M_i – сосредоточенные изгибающие моменты;

q_i(ξ) – распределенные поперечные силы.

Графики функций Q(x) и М(x) представляют в виде эпюр. Все эпюры строят на одном чертеже под расчетной схемой бруса. Оси абсцисс для эпюр проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения перерезывающих сил и изгибающих моментов. При построении эпюр пользуются следующими правилами.

1. На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется форма или размер поперечного сечения, либо изменяется нагрузка, либо существует опора, либо врезан шарнир.

2. Освобождают брус от опор и заменяют их действие неизвестными усилиями, которые определяют из уравнений равновесия.

3. На каждом участке бруса, ограниченном двумя характерными сечениями отмечают сечение, отстоящее на произвольном расстоянии х от начала участка и для него записывают выражение перерезывающей силы как алгебраическую сумму всех внешних активных и реактивных сил, лежащих по одну (любую) сторону сечения. Перерезывающая сила Q(x) считается положительной, если внешняя сила P направлена вверх, когда рассматривается левая часть балки, или сила Р направлена вниз, когда рассматривается правая часть балки.

Вычисляют значения в граничных сечениях участка и откладывают на эпюре. Очертания эпюры между граничными точками определяют исходя из законов изменения нагрузки и дифференциальной зависимости dQ(x)/dx =q(x). На эпюре Q(x) при переходе через сечение, в котором приложена сосредоточенная сила P_i будет скачок на величину P_i. На участке действия распределенных усилий q_i(x), интенсивность которых изменяется по степенной зависимости, эпюра Q(x) будет ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени закона изменения погонных усилий q_i(x). Следовательно, при q_i(x) =0 -эпюра Q(x) ограничена горизонтальной прямой, при q_i(x) = const -эпюра Q(x) ограничена наклонной прямой, в случае изменения по линейному закону, эпюра Q(x) ограничена квадратной параболой и т.д. На опоре будет скачок на величину реакции опоры.

4. Для тех же сечений записывают выражение изгибающего момента как алгебраическую сумму моментов относительно главной центральной оси сечения z_c, создаваемых всеми внешними парами и силами, лежащими по (любую) сторону от сечения. Изгибающий момент M(x) от внешней нагрузки считается положительным, если внешняя нагрузка изгибает балку выпуклостью вниз, а отрицательным, если выпуклость направлена вверх. Это правило совпадает с правилом «сжатого волокна», по которому изгибающий момент считается положительным, если внешняя нагрузка изгибает балку таким образом, что сжатые волокна находятся сверху балки. Вычисляют значения в граничных сечениях участка и откладывают на эпюре. Очертания эпюры между граничными точками определяют исходя из законов изменения нагрузки и дифференциальных зависимостей dM(x)/dx=Q(x) и d²M(x)/dx²=q(x). На эпюре М(x) при переходе через сечение, в котором приложен сосредоточенный момент М_i будет скачок на величину М _i. Если на участке эпюра перерезывающих сил изменяется по степенной зависимости, эпюра М(x) будет ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени закона изменения перерезывающей силы Q(x). Следовательно, при Q(x) =0 -эпюра М(x) ограничена горизонтальной прямой, при Q(x) = const -эпюра М(x) ограничена наклонной прямой, в случае изменения по линейному закону, эпюра М(x) ограничена квадратной параболой и т.д. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то выпуклость кривой эпюры М(x) направлена вверх, если распределенная нагрузка направлена вверх, то выпуклость кривой эпюры М(x) направлена вниз.

Пример 2.7

Определить реакции опор и построить эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил в сечениях заданной балки (рис. 2.40а).

Решение.

1. Удалим опоры и их действие заменим реакциями (рис. 2.40б). Пронумеруем характерные сечения.

2. Запишем уравнения равновесия и определим реакции опор.

откуда:

Рисунок 2.40

3. Запишем аналитические выражения перерезывающих сил для каждого из участков балки.

Построим выражения Q(x) в виде эпюры перерезывающих сил (рис. 2.40в).

4. Запишем аналитические выражения изгибающих моментов для каждого из участков балки.

Определим экстремальное значение изгибающего момента на участке 1-2, для чего вначале определим x_max, из условия Q_1-2(x) = 0.

откуда:

x_max=2a.

Подставим в выражение момента, получим:

M_max= -(8/9) qa²

Построим эпюру изгибающих моментов (рис. 2.40г).

Пример 2.8.

Для подкосного шасси, схема которого приведена на рисунке 2.41а, необходимо определить нормальные усилия, перерезывающие силы и изгибающие моменты в амортизационной стойке АО при действии по оси колеса вертикального усилия 50 кН и горизонтального усилия 12,5 кН.

Рисунок 2.41

Решение.

1 Для расчетной схемы, показанной на рисунке 2.41б, запишем уравнения равновесия:

Так как суммарное усилие в узле C направлено вдоль подкоса CD, то можно записать соотношение:

Решая систему 4-х уравнений, получим усилия, которые нагружают стойку:

Y_CD =33,3 кН,

X_CD =28,6 кН,

Y_AO =-83,3 кН,

X_AO =-16,1 кН,

2. Выделим амортизационную стойку с заданными внешними усилиями по оси колеса и компонентами реактивных усилий со стороны опоры на фюзеляже в узле А и со стороны подкоса CD. В результате получили балку, нагруженную системой самоуравновешенных продольных и поперечных сил. (рис.2.41в). Для полученной расчетной схемы строим эпюры нормальных усилий N (рис. 2.41г), перерезывающих сил Q (рис.2.41д) и изгибающих моментов M (рис. 2.41е).

Пример 2.9

Для консоли крыла регионального самолета, показанной на рисунке 2.42а, необходимо в сечениях крыла определить перерезывающие силы Q, изгибающие моменты М_изг и крутящие моменты М_кр, а также построить их эпюры. Крыло нагружено аэродинамическими и инерционными нагрузками.

Рисунок 2.42

Аэродинамические нагрузки заданы в виде распределения погонных нагрузок h_{y аэр}, равнодействующие которых приложены в центрах давления с координатами x_d (таблица 2.1). Инерционные нагрузки заданы в виде погонных нагрузок h_{y ин}, равнодействующие которых приложены в центрах тяжести с координатами x_c (таблица 2.1).

Таблица 2.1

Решение.

1. Приведем распределенные нагрузки к системе сосредоточенных усилий, действующих в серединах участков ограниченных соседними сечениями:

P_{i аэр} = h_{y аэр i}×(z_i+1-z_i)

P_{i ин} = h_{y ин i}×(z_i+1-z_i),

z_{d i} =z_{c i} =(z_i+z_i+1)/2

Результаты численного расчета приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

2. Заменим крыло расчетной схемой в виде консольно закрепленной балки направленной вдоль оси жесткости (рис. 2.42б).

3. Выполним параллельный перенос усилий P_{i аэр} и P_{i ин} на ось жесткости по нормали к ней. Как видно из рисунка 2.42б, при переносе усилия Р с координатами x, z на ось жесткости новые координаты x₁, z₁, координата u и расстояние b определяются соотношениями:

b= x cos a –z sin a

x₁ = x-b cos a

z₁ = z+b sin a

По правилу параллельного переноса силы добавляем момент ΔM_u относительно оси u:

ΔM_u= P b

Результаты численного расчета приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

3. Упорядочим P_аэр, P_инр, ΔM_d, ΔM_c, по возрастанию координаты u и вычислим перерезывающие силы Q, изгибающие моменты М_изг и крутящие моменты М_кр.

Результаты вычислений приведены в таблице 2.4.

Таблица 2.4

По данным таблицы построим эпюры перерезывающих сил Q, изгибающих моментов М_изг и крутящих моментов М_кр (рис.2.43).

Рисунок 2.43