Лабораторна робота № 4. Мета роботи - дослідити автоколивання і стійкість стану рівноваги в нелінійної системі

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ГАРМОНІЙНОЇ ЛІНЕАРИЗАЦІЇ

ДЛЯ АНАЛІЗУ НЕЛІНІЙНИХ САУ

Мета роботи - дослідити автоколивання і стійкість стану рівноваги в нелінійної системі.

4.1. Програма роботи

4.1.1. Для досліджуваної нелінійної САУ, структурна схема якої зображена на рис.4.1, скласти схему моделі відповідно до варіанта завдання (табл.4.1).

Рис.4.1

Таблица 4.1

4.1.2. Набрати модель САУ (без внутрішнього зворотного зв'язку по координаті ) і замалювати криву перехідного процесу вихідної величини при і завданні початкових умов на останньому інтеграторі.

Якщо в системі встановлюються автоколивання, то необхідно визначати їх амплітуду та частоту (період).

4.1.3. Зменшити коефіцієнт передачі моделі підсилювача так, щоб виконувалася умова

де - загальний коефіцієнт передачі лінійної частини,

Зняти криву перехідного процесу і визначити усталене значення вихідної величини .

4.1.4. Збільшити ширину зони нечутливості нелінійного елемента так, щоб дотримувалася умова

Зняти криву перехідного процесу і визначити усталене значення вихідної величини

4.1.5. Ввести внутрішній негативний зворотний зв'язок по координаті (швидкість двигуна) на вхід підсилювача (показана штриховою лінією). Зняти криву перехідного процесу і визначити встановивши значення вихідної величини .

4.2. Основні положення

4.2.1. В якості об'єкта дослідження прийнята нелінійна слідкуюча система, структурна схема якої зображена на рис.4.1.

Пропорційне ланка з коефіцієнтом передачі - модель чутливого елемента (датчика кута неузгодженості командної та виконавчої координат). До складу системи входять два підсилювача: лінійний (аперіодична ланка з коефіцієнтом передачі ) і релейний (нелінійний елемент). Виконавча вісь приводиться в рух двигуном з редуктором (ланки з коефіцієнтами передачі і ). Внутрішній негативний зворотний зв'язок по швидкості двигуна здійснюється за допомогою тахогенератора (ланка з коефіцієнтом передачі ).

4.2.2. У роботі використовується вільний рух нелінійної слідкуючої системи при знятті вхідного впливу . Рух системи здійснюється за рахунок ненульового початкового положення виконавчої осі (), яке в моделі системи задається початковими умовами на останньому інтеграторі.

4.2.3. Наявність нелінійного елемента в слідкуючої системі може привести до виникнення автоколивань. Для визначення умов автоколивань та їх параметрів (амплітуда і частота) скористаємося методом гармонійної лінеаризації.

За структурною схемою визначаємо передавальну функцію лінійної частини системи при :

.

Диференціальне рівняння лінійної частини системи в операторній формі

Для нелінійної ланки запишемо вираз гармонічної лінеаризації

,

де , , амплітуда досліджуваного періодичного рішення.

Підставляючи в (4.1) замість його значення, отримуємо лінеаризовані рівняння замкнутої нелінійної системи:

.

Можливість існування періодичного розв'язанн рівняння проаналізуємо за допомогою критерію стійкості Михайлова. Для цього в характеристичний поліном

підставимо , виділимо дійсну та уявну частини і прірівнюєм їх до нуля:

З другого рівняння системи (4.4) знайдемо потрібну частоту періодичного рішення.

Підставляючи в перше рівняння системи (4.4) значення частоти і вираз , отримуємо вираз, що зв'язує амплітуду періодичного рішення параметрами системи управління,

Після перетворення одержимо біквадратне рівняння

де

Позначаючи , отримуємо квадратне рівняння

звідки

В системі можливі періодичні рішення з амплітудою - тільки в тому випадку, якщо виконується умова

,

або

Для визначення стійкості знайдених періодичних рішень можливо скористатися наближеною аналітичною умовою, згідно якій періодичне рішення стійко, якщо виконується нерівність

де зірочка означає, що в приватні похідні необхідно підставити знайдені числові значення параметрів , .

Враховуючи (4.4), отримуємо умову стійкості періодичного рішення (наявності автоколивань) у вигляді

Визначимо амплітуду та частоту коливань виконавчої осі системи (координати (). Частота автоколивань однакова для будь-якою змінною системи. Згідно структурній схемі амплітуда коливань

4.2.4.У нелінійної системі з внутрішнім зворотним зв'язком по швидкості двигуна умова існування періодичних рішень має вигляд

4.2.5. З аналізу (4.6) і (4.7) випливає, що для усунення автоколивань в досліджуваній нелінійної системі необхідно:

- зменшити загальний коефіцієнт передачі лінійної частини або коефіцієнт передачі однієї з ланок;

- збільшити ширину зони нечутливості нелінійного елемента ;

- ввести негативний зворотний зв'язок по швидкості двигуна.

4.3. Методичні вказівки

4.3.1. Після виконання досліджень по кожному з пп.4.1.3-4.1.5 слід відновити первісне значення змінюваного параметра системи.

4.4. Зміст звіту

4.4.1. Структурна схема досліджуваної системи та схема моделі.

4.4.2. Розрахунок амплітуди і частоти періодичних рішень і перевірки їх стійкості.

4.4.4. Графіки змінної при виконанні досліджень по п.п. 4.1.2-4.1.5.

4.4.5. Висновки про умови існування автоколивань в дослідованій нелінійній слідкуючій системі в умовах стабілізації системи (усунення автоколивань).

Модель

Варіант №1