Анализ переходных процессов классическим методом

Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных цепях с постоянными параметрами, в которых осуществляется коммутация (включение, выключение, переключение, изменение параметров цепи и т.п.), сводится к следующему. Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Составление уравнений по законам Кирхгофа. Для каждой ветви схемы, получающейся после коммутации, следует задаться положительным направлением тока и на основании законов Кирхгофа составить систему уравнений для мгновенных значений напряжений и токов переходного режима. Так как то в общем случае это будет система неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (от интегралов можно освободиться, продифференцировав все члены по t, получив ).

Решение уравнений Кирхгофа. Эта система уравнений может быть решена относительно одного из токов или напряжения на одном из элементов цепи (Uc, U_L, Ur). В результате получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка, где n равно или меньше количества индуктивных катушек и емкостей в схеме. В соответствии с порядком дифференциального уравнения, составленного для схемы после коммутации, схема после коммутации имеет порядок n.

Общее решение полученного неоднородного линейного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух величин: честного решения неоднородного уравнения, выражающего принужденный режим, задаваемый источником, и решения однородного дифференциального уравнения, выражающего свободный режим. В соответствии с этим для тока (или напряжения на емкости) в некоторой ветви получим i = i_пр+i_св (или Uc_пр +Uc_св). Здесь i_пр (или Uc_пр) – составляющая тока (или напряжения на емкости) принужденного режима, или, принужденный ток или принужденное напряжение (при постоянном или синусоидальном напряжении могут быть найдены обычными методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации); iсв (или Uc_св) – составляющая тока (или напряжения) свободного режима (или свободный ток или напряжение).

Вид функции i_пр=F₁(t) (или Uc_пр=F₁(t)) зависит как от формы действующих в цепи источников напряжения и тока, так и от характера самой цепи. Вид функции i_св=F₂(t) (или Uc_пр=F₂(t)) зависит только от характера самой цепи.

Свободный ток i_св=F₂(t) схемы порядка n имеет n линейно независимых составляющих (собственных функций) i_k(t):. Вид собственных функций определяется видом корней p_k(k=1,2,…,n) характеристического уравнения схемы. Каждому корню соответствует собственная функция (здесь – собственный ток) вида .

Если корни характеристического уравнения p_l=p_l+1=p_l+2=…=p_l+m-1 равны между собой (т.е. корень p_l имеет кратность m), то соответствующие им собственные функции имеют вид:

Если имеется пара комплексно сопряженных корней p_k,k+1=-a_k±jω_k (a_k – собственное затухание, ω_k - собственная частота), то соответствующая ей собственная функция (с двумя постоянными интегрирования A_k и ψ_k) может быть найдена в виде , где ψ_k, A_k, A_l,… - постоянные интегрирования, число которых равно порядку n дифференциального уравнения; их значения определяются из начальных условий.

Определение начальных условий из законов коммутации. В качестве независимых начальных условий используются величины токов i_L(0_), проходящих через каждую индуктивную катушку, и напряжений u_c(0_) на емкостях к моменту коммутации. Если коммутация происходит мгновенно в момент t=0 и если мощность обмена энергией между отдельными элементами цепи остается конечной, то имеет место непрерывное изменение всех величин, значения которых определяют энергию, содержащуюся в реактивных элементах цепи. В этом случае выполняются следующие законы коммутации: токи катушек индуктивности и напряжения на емкостях в момент начала коммутации не изменяются скачком (внезапно), т.е. они являются непрерывными функциями времени. После коммутации i_Lk(0₊)=i_Lk(0_), u_ck(0₊)=u_ck(0_).

Начальные значения токов в ветвях, не содержащих индуктивностей, или напряжений на элементах, не являющихся емкостями, могут в момент коммутации изменяться скачком. Эти начальные значения токов и напряжений (зависимые начальные значения) определяются по законам Кирхгофа с применением законов коммутации.

Характеристическое уравнение. При составлении характеристического уравнения в соответствующей однородной системе уравнений для схемы символы дифференцирования заменяют сомножителем р, а символы интегрирования – сомножителем 1/р и приравнивают нулю соостве6тствующий (характеристический) определитель системы.

При составлении характеристического уравнения часто бывает легче составить характеристическое входное сопротивление схемы, при этом индуктивностям L приписывают сопротивления pL, а емкостям С – сопротивления 1/рС, и приравнять характеристическое входное сопротивление нулю.

Классический метод анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

(9.5)

которое получается из (9.4) при f (t) = 0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (9.5) характеризует так называемые с в о б о д н ы е процессы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии

Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.

Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).

Частное решение уравнения (9.4) определяет п р и н у ж д е н н ы й режим работы цепи, т. е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Если внешнее воздействие на цепь после коммутации изменяется по периодическому закону (сохраняет неизменное значение), то частное решение уравнения (9.5) характеризует установившийся режим цепи после коммутации.

Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи y (ток или напряжение какой-либо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной у_св и принужденной у_пр составляющих:

у = у_св + у_пр.

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает,

lim у_св = 0

^t®¥

поэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации: у_пр=lim y.

^t®¥

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряжением.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени и для определения у_пр можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение у_пр можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности.

Для определения свободной составляющей у_св реакции цепи необходимо найти n корней p_i характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению (9.5).

(9.6)

Когда все корни уравнения (9.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид

(9.7)

т. е. каждому простому корню p_i соответствует слагаемое свободной составляющей вида

где А_i - постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень p_k характеристического уравнения (9.6) имеет кратность n, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

(9.8)

Характеристическое уравнение (9.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни p_i характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): Re[p_i] £ 0, так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (ненарастающий) характер.