Метод эквивалентного генератора

Называется еще методом активного двухполюсника или методом холостого хода и короткого замыкания. Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Имеется 2 варианта метода: 1) метод эквивалентного напряжения (ЭНГ) и 2) метод эквивалентного генератора тока (ЭГТ).

1) Метод ЭГН. Для нахождения тока I в произвольной ветви ab, сопротивление которой r (рис. 1а, А – активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (1б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным генератором напряжения с э.д.с. Е_г и внутренним сопротивлением r_г.

Э.д.с. Ег этого генератора равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода): Е_г=U_{ab x/x} = (φ_a - φ_b)_x/x

Расчет схемы в режиме холостого хода (1б) для определения Ег проводится любым известным способом.

Внутреннее сопротивление r_г эквивалентного генератора напряжения равняется входном сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов a и b исходной схемы, из которой исключены все источники (источники напряжения замены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены, 1г; П – пассивный характер цепи), при разомкнутой ветви ab. Сопротивление r_г может быть вычислено непосредственно по схеме 1г.

Ток в искомой ветви схемы (1д), имеющей сопротивление r, определяется по закону Ома:

2) Метод ЭГТ. Для расчета тока по методу ЭГТ в ветви ab, сопротивление которой, надо часть схемы относительно зажимов a и b (при разомкнутой ветви ab) заменить эквивалентным генератором тока, ток которого J, а сопротивление r_г (1е).

Для нахождения тока J надо зажимы a и b закоротить и любым способом рассчитать ток короткого замыкания Iк.з., протекающий по закороченному участку (1ж). При этом J=Iк.з. Сопротивление r_г можно найти, как и при расчете по методу ЭГН (1г). Это же сопротивление может быть рассчитано, как это видно из схемы замещения заданной схемы в режиме короткого замыкания (1з), по формуле .

Ток в искомой ветви r (1u):

Метод эквивалентного генератора применяется обычно для расчета тока в одной из ветвей сложной электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 2.28) линейной электрической цени не изменится, если остальную часть электрической цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 2.29), ЭДС которого Eэкв равна напряжению на зажимах а и б разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление rэкв равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС заменены короткозамкнутыми проводниками, а источники тока - разрывами цепи.

Для доказательства теоремы в ветвь аб схемы электрической цепи, приведенной на рис. 2.28, включим два идеальных противоположно направленных источника ЭДС Е’ и Е” Получим схему, показанную на рис. 2.30. Примем, что значения ЭДС E’ и E” равны напряжению Uaб между точками а и б в режиме холостого хода, т.е. при отключенной нагрузке. Так как разность потенциалов между точками а и а’ (см. рис. 2.30) равна нулю, то эта схема эквивалентна первоначальной (см. рис. 2.28), и ток I в ветви с сопротивлением rн в обеих схемах одинаков.

Применив метод наложения, ток I в ветви с сопротивлением rн (см. рис. 2.30) найдем как сумму двух частичных токов: тока I’, вызванного совместным действием ЭДС Е’ и всех ЭДС, имеющихся в исходной цепи (рис. 2.31, б), а также тока I”, вызванного действием оставшейся ЭДС Е” (рис. 2.31, б). При этом ток I будет равен алгебраической сумме двух частичных токов I’ и I”. Первый частичный ток в схеме, приведенной на рис. 2.31, a, I’ = (Uаб - Е’) / rн = 0, так как Е’ = Uaб.
Для определения второго частичного тока I” схему, показанную на рис. 2.31, б, представим так, как изображено на рис. 2.31, в, где rэкв - эквивалентное сопротивление цепи по отношению к точкам а, б. Для этой схемы I” = Е” / (rэкв + rн).

Тогда ток в ветви с сопротивлением rн исходной цепи:

где Eэкв = Uаб.
Из полученного выражения для тока I следует справедливость сформулированной выше теоремы.
Заменив эквивалентный источник напряжения источником тока, получим эквивалентный источник тока, для которого можно сформулировать и доказать теорему, аналогичную теореме об эквивалентном генераторе напряжения.
Метод расчета электрических цепей, основанный на теореме об эквивалентном генераторе, наиболее целесообразно применять тогда, когда требуется определить ток в одной из ветвей электрической цепи. Эта ветвь рассматривается как нагрузочное сопротивление, а вся оставшаяся цепь - как эквивалентный генератор. В общем случае ветвь электрической цепи, в которой необходимо найти ток, может содержать источники ЭДС, а в оставшейся части схемы электрической цепи можно выделить несколько эквивалентных генераторов.
При расчете электрических цепей методом эквивалентного оператора целесообразно придерживаться нижеследующего порядка.
1. Произвести разрыв схемы электрической цепи в точках подсоединения элемента, ток через который требуется определить.
2. Определить напряжение между точками разрыва.
3. Определить сопротивление между точками разрыва.
4. Найти ток в ветви электрической цепи по выражению 2.25

23.Основные теоремы линейных цепей: Теоремы обратимости, теоремы компенсации, теоремы об эквивалентном источнике.

Т. обратимости: Контурный ток k-го контура лин. пассивной цепи, вызванный действием ед. независимого источника напряжения, помещённого в i-й контур, равен контурному току i-го контура, вызванному действием того же источника напряжения, перенесённого из i-го контура в k-й (Если независимый источник тока, подключенный к какой-либо паре зажимов линейной пассивной цепи, вызывает на другой паре зажимов некоторое напряжение, то этот же источник тока, подключенный ко второй паре зажимов, вызовет на первой паре зажимов то же напряжение)

Доказательство:

Учитывая симметричность матрицы контурных сопротивлений: D_ki=D_ik

Следовательно: I_kk=I_ii

Т. компенсации: Токи и напряжения произвольной эл. цепи не изменятся, если любую ветвь этой цепи заменить либо ид. источником напряжения, ЭДС которого равна напряжению данной ветви и направлена противоположно этому напряжению, либо ид. источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви и совпадает с ним по направлению.

Доказательство:

Осн. система ур-й эл. равновесия каждой из цепей совпадает с осн. системой ур-й эл. равновесия исх. цепи. Замена Z_k ид. источником напряжения E_k соответствует переносу Z_kI_k из левой части ур-й баланса напряжений в правую со сменой знака. Ур-ия преобразованной цепи вместо тока I_k протекающего через Z_k содержат равный ему ток J_k ид. источника тока. Таким образом схемы являются эквивалентными.

Т. об экв. источнике: Ток любой ветви лин. эл. цепи не изменится, если автономный 2х-полюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить экв. лин. источником энергии, который может быть представлен последовательной или параллельной схемой замещения. ЭДС ид. источника напряжения в послед. схеме замещения равна напряжению ХХ автономного 2х-полюсника, ток ид. источника тока в паралл. схеме замещения равен току КЗ автономного 2х-полюсника, а внутр. сопротивление и проводимость экв. источника равны соотв. компл. вх. сопротивлению и проводимости автономного 2х-полюсника.

АД – 2х-полюсник, напряжение ХХ или ток КЗ которого не равны нулю.

Компл. вх. сопр. 2х-полюсника – отношение компл. амплитуды напряжения на его зажимах к компл. амплитуде тока.

Доказательство:

,где Z_э– компл. вх. сопр. исходного АД, равное компл. вх. сопр. НД.

Ток k-й ветви исх цепи равен току цепи, содержащей Z_k источник напряжения и компл. сопр. Z_э = Z_kk.

Ток ветви не изменился при замене АД экв. источником энергии, ЭДС которого равна напряжению ХХ АД, а внутр. сопротивление – его компл. вх. сопротивлению.