Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод простої ітераціїВ загальному випадку задана СЛАР (3.2), яка записана в розгорнутому матричному вигляді (3.5). Якщо припустити, що діагональні елементи матриці А (і = 1, 2, …, n), то можна перевести систему до канонічного виду і потім виразити х 1 через перше рівняння системи, х 2 – через друге рівняння і т. д. У результаті одержимо систему, яка еквівалентна системі (3.2): (3.9)
Позначимо , де і, j = 1, 2, …, n. Тоді система (3.9) запишеться так:
(3.10)
Систему (3.10) називають приведеною до нормального виду. Ця система в матричній формі запису:
або (3.11)
Після нормалізації системи перевіряється умова збіжності ітераційного процесу. Ознакою збіжності є умова того, що будь-яка з норм матриці менша від одиниці, тобто
де q – норма матриці , яка може бути визначена за однією із формул:
, .
Алгоритм методу простої ітерації наступний: - за нульове наближення приймається стовпець вільних членів:
– нульове наближення,
далі будуються матриці-стовпці наступних наближень:
– перше наближення; – друге наближення і т.д. Взагалі, будь-яке (k +1)-е наближення обчислюють за формулою
(k = 0, 1, …, n). (3.12)
Ітераційний процес продовжується доти, поки не буде виконано умову
де – задана абсолютна похибка. В методі ітерацій заміна значень всіх змінних проводиться одночасно (одночасне зміщення).
Приклад 1. Розрахувати струми в гілках електричного кола (рис. 3.1) методом простої ітерації. У матричному виді система (1.1) запишеться наступним чином (за даними параметрів схеми рис. 1.1):
або (3.13)
Перед приведенням системи до нормального виду необхідно за допомогою еквівалентних перетворювань зробити систему (3.13) придатну ітераційному процесу. Для цього слід за допомогою перестановки і алгебраїчних дій з рівняннями системи добитися, щоб елементи головної діагоналі матриці мали максимальне за модулем значення. Тобто: - друге рівняння запишеться замість першого; - з першого рівняння, домноженого на 10 віднімається третє рівняння і результат записується замість другого рівняння; - третє рівняння залишається без змін. В результаті система (1.13) набуває виду:
(3.14)
Для переводу до нормального виду кожне рівняння системи треба розділити на відповідні елементи, що розташовані на головної діагоналі. Для СЛАР (3.14), що еквівалентна системі (3.1), нормальний вид наступний:
(3.15)
Для застосування методу простої ітерації матрична система переписується у формі (3.11), тобто:
.(3.16)
З (3.16) слідує, що і , тобто умова збіжності ітераційного процесу (норма матриці менша від одиниці) виконується як по рядках, так і по стовпцях.
Нульове наближення, що дорівнює з (1.12): .
Задається абсолютна похибка розрахунку
Перше наближення згідно ітераційній формулі методу (3.12):
Знаходиться друге наближення:
Третє наближення:
Аналогічно знаходяться наступні наближення розв'язки задачі:
Перевірка умови закінчення ітераційного процесу після 14-го кроку:
За чотирнадцять кроків ітераційний процес закінчився з заданою точністю.
Струм в гілках схеми (рис. 1.1) становить:
Перевірка у вузлі „а” (рис. 1.1) за першим законом Кірхгофа виконується з точністю до (0,269 + 1,579) – 1,842 = 0,006 А.
|