Метод ітерацій

На відміну від систем лінійних рівнянь не існує прямих методів розв‘язання систем нелінійних рівнянь (СНР) загального виду. Для наближеного їх розв‘язання використовують ітераційні методи. Найбільш поширеними з них є метод ітерацій і метод Ньютона.

Метод ітерацій для СНР по суті є узагальненням методу ітерацій для одного рівняння.

Нехай для обчислення невідомих х₁, х₂, …, х_n необхідно розв‘язати систему

n нелінійних рівнянь

(4.1)

Зобразимо систему (4.1) у вигляді

(4.2)

Функції в (4.2) поблизу шуканого розв‘язку мають задовольняти умові збіжності методу ітерацій, яка записується наступнім чином

, або 2, …, або n) (4.3)

(фактично узагальнена умова для одного рівняння).

Задаються початковим наближенням , і = 1, 2, …, n.

Взагалі, необхідно, щоб початкове наближення було достатньо близько до шуканого розв‘язку. Вибір наближення провадиться в залежності від конкретних умов, наприклад, з фізичних міркувань. Якщо розв‘язується система із двох рівнянь, то за , можна прийняти координати точки перетину кривих і на площині .

Наступні наближення визначають за ітераційними формулами

k = 0, 1, 2, … (4.4)

Ітераційний процес завершується при виконанні умови

(4.5)

де ε – задана абсолютна похибка розв‘язку.

Одним із суттєвих недоліків методу ітерацій є складність вибору функцій такими, що задовольняють достатній умові збіжності ітераційного процесу. Для системи із двох рівнянь можна рекомендувати наступний засіб (А).

Записують і у вигляді

;

,

де .

Коефіцієнти визначають із умов:

(4.6)

Умова збіжності при цьому виконується, якщо прийняті достатньо близько до шуканого розв‘язку.

Для СНР, як і для СЛАР, можливе застосування удосконалення Зейделя, тобто використання раніше визначених невідомих при обчисленні наступних. Власне, для СНР методом ітерацій і називають метод Зейделя.