Методи розв'язання систем лінійних рівнянь

Моделювання лінійних електричних кіл засновано на законах Кірхгофа (перший закон – слідство принципу безперервності електричного струму; другий – слідство закону збереження енергії) і Ома.

Метою розрахунку є визначення струмів у всіх гілках, напруг в вузлах, потужностей електроприймачів.

Математична модель електричного кола надається еквівалентною схемою що містить m гілок і n вузлів, а також ЕРС всіх джерел, внутрішніми і зовнішніми опорами.

Послідовність розрахунку лінійного електричного кола з використанням законів Кірхгофа наступна:

а) для кожної гілки вводять позначення протікаючого через неї струму і стрілками на схемі указують умовні позитивні напрями цих струмів;

б) для n-1 вузлів складають рівняння на підставі першого закону Кірхгофа; для одного з вузлів таке рівняння не складають, оскільки воно є слідством вже написаних рівнянь;

в) беруть взаємно незалежні контури кола (це означає, що в кожному новому контурі хоча б в одній з гілок струм не входить в попередньо розглянуті контури), в кожному з цих контурів вибирають умовний позитивний напрям обходу і позначають його на схемі;

г) для вибраних контурів складають рівняння по другому закону Кірхгофа з урахуванням напряму обходу; при правильному виборі контурів їх число повинно дорівнювати m - n + 1; при цьому загальна кількість рівнянь повинно складати m, тобто по числу невідомих величин;

д) вирішують отриману систему з m рівнянь одним з методів обчислювальної математики.

Якщо розраховане значення струму в даній гілці є позитивним, то це означає, що дійсний напрям струму співпадає з вибраним раніше і навпаки.

Складання системи лінійних рівнянь (СЛР) розглядається на прикладі схеми розгалуженого електричного кола постійного струму (рис.3.1). Параметри резисторів складають відповідно: ЕРС джерел, що містяться у гілках схеми:

Згідно законів Кірхгофа, алгоритму розрахунку, схеми електричного кола і напрямку обходу контурів система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) має вигляд (3.1), де невідомі - це струми в гілках, коефіцієнти при невідомих – параметри елементів, а вільні члени – ЕРС джерел:

Рисунок 3.1

(3.1)

Надалі, СЛАР, що отримано, розв'язується різними методами.

3.1 Форми запису систем лінійних алгебричних рівнянь і способи розв'язання матричних рівнянь

В загальному вигляді система n лінійних алгебричних рівнянь з n невідомими записується так:

(3.2)

Коротко систему (3.2) можна записати в такому вигляді:

(і = 1, 2, …, n). (3.3)

З використанням матричних позначень систему (3.2) можна записати в наступному виді:

, (3.4)

або в розгорнутому вигляді:

· = . (3.5)

Взагалі, розглядаються три види матричних рівнянь і способи їх розв'язання.

Матричне рівняння виду . Для розв'язання такого рівняння треба помножити зліва обидві його частини на обернену матрицю : . При цьому добуток (одинична матриця), отже, , звідки

. (3.6)

Матричне рівняння виду . Треба помножити справа обидві його частини на : . Виходить: , звідки

. (3.7)

Матричне рівняння виду . При помноженні обох частин рівняння – зліва на , а справа на виходить , або , звідки

. (3.8)

3.2 Методи розв'язування СЛАР

Методи поділяють на прям і, які використовують для обчислення невідомих кінцеві співвідношення (формули) і чисельні, які, в загальному випадку, поділяються на ітераційні методи і методи мінімізації.

Прямі методи дають розв'язок після виконання заздалегідь відомої кількості операцій. Ці методи прості і універсальні. Разом з тим їм властиві такі недоліки:

– вони потребують зберігання в оперативній пам'яті відразу всієї матриці;

– не враховують структуру матриці – нульові елементи також зберігаються в пам‘яті і над ними проводяться арифметичні дії;

– відбувається накопичення похибок в процесі розв'язування (хоч прямі методи і називають точними), тому що обчислення на будь-якому етапі використовують результати попередніх операцій.

У зв‘язку з цим прямі методи використовують для порівняно невеликих (n < 200) систем із щільно заповненою матрицею і не близьким до нуля визначником.

Чисельні методи, як ітераційні, так і мінімізації – це методи послідовних наближень. Вони потребують деякого наближеного розв'язку – початкового наближення. Далі за визначеним алгоритмом виконується ряд ітерацій до одержання результату з необхідною точністю. Методи мають перевагу перед прямими в наступному:

– потребують зберігання не всієї матриці системи, а лише декількох векторів з n компонент; іноді елементи матриці можна зовсім не зберігати, а обчислювати їх при необхідності;

– похибки кінцевих результатів не накопичуються, тому що в кожній ітерації використовується результат тільки попередньої і не використовуються раніше виконані обчислення.

Але при цих перевагах збіжність ітераційних методів може бути дуже повільною.

3.2.1 Прямі методи розв'язування СЛАР

Прямі методи розглядаються у вузівському курсі «Вища математика» і в даному курсі про них тільки згадується.

Отже, перший з прямих методів – це метод, що використовує формули Крамера, де невідомі визначаються як відношення визначників.

Найбільш поширеним прямим методом розв‘язання СЛАР на ЕОМ є метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса) і його модифікації.

Один з різновидів методу Гаусса (компактна схема Гаусса) – метод LU –перетворення.

Компактні схеми Гауса використовуються для СЛАР із розрідженими матрицями довільної структури. В цих схемах застосовується тріангуляція матриць (трикутна декомпозиція) – суть якої полягає в перетворенні матрично-векторного рівняння (1.5) в рівняння з трикутними матрицями (методику перетворення квадратної матриці на добуток двох трикутних наведено нижче).

Порядок дій в методі LU –перетворення наступний:

а) виконується заміна матриці А на добуток двох трикутних матриць L і U; (в матриці U діагональні елементи дорівнюють одиницям);

б) розв'язується відносно Y рівняння ;

в) розв'язується відносно X рівняння .