Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского

Плоскость Лобачевского можно строить на базе различных систем аксиом. В общем курсе геометрии она строится на основе той аксиоматики, которая получается из планиметрич-х аксиом Гильберта, заменой в ней акс.параллельных. О сновн. объекты: мн-во точек L₂, мн-во прямых P₂. Основн. отн-я: инцид-ть, лежать между, движ-е.

Аксиома парал-ти: Через т. пл-ти, не лежащ. на дан. прямой, прох-т по кр. мере 2 прям.не пересек-ся с данной.

Т1: ч/з точку, не лежащую на прямой в плоскости проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную. (нужен рисунок)

[b,^c] - линейный угол. Он содержит бесконечно много лучей. Мн-тво этих лучей непрерывно. Разобьем их на два класса: (К', К").

К' - лучи, которые ∩ полупрямую а.

К" - лучи, которые не ∩ полупрямую а.

Свойства лучей: 1. сÎК'; bÎ К" => К' и К" - не пусты. 2. m<n, т.к. M<N; К' < К". 3. Каждый элемент множества принадлежит одному классу => (К'; К") - дедекиндово сечение. Т.к. множество лучей непрерывно, то любое дедекиндовое сечение имеет граничный луч, назовем его u, он д.б. либо последним в 1-ом, либо первым во 2-ом. В классе К' нет последнего луча, т.к. на прямой (а) нет последней точки => u - первый в классе К".

Аналогично: [c,^b_-] и можно доказать, что $ 1-ый, не ∩ а_- луч vÎ К"; v∩a_=Ø.

u и v - лучи 2-х разных прямых; u и v - не совпадают, иначе мы получили бы противоречие с аксиомой ║-ти. u и v - называют параллельными прямой (а).

- вправо и - влево (относительно точки А). Указывается направление || - ти. Все прямые, которые следуют за u и v, находятся в углах (u,^ v_) и (v,^ u_) они расходятся с (а).

(b сверхпараллельна прямой а).

Ч/з точку А проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а, среди них есть || а и сверх || а. Если , то она ||-на относительно любой точки МÎu ().

Если

Сл1: (признак ||-ти 2-х прямых) u||a если и только если: 1. u, a - не пересекаются. 2. "mÎ(c,^u); m∩a≠Ø; u - первый, не пересекающий (а).

Сл2: ч/з точку вне прямой в плоскости проходит единственная прямая, || - ная данной в данном направлении.

Свойства || -ных прямых: 1. Движение сохраняет || - ть и сверх ||-ть прямых.

a||b => a' || b'; f: a®a', b®b'; a||b => "mÎ(c,^b) ó m∩a≠Ø; f: c®c', c'Ça', c'Çb'; mэA => m'эA'; m∩a≠Ø => m'∩a'≠Ø; "m'Î(b',^c') ó m'∩a'≠Ø. По признаку ||-ти => a'||b' в том же направлении.

Если a)(b => a')(b'.

2. при движении, если a||b, то b||a (т.е. соотношение ||-ти является симметричным соотношением).

a||b => b||a: m-биссектриса (c,^b), n - бисс (a,^c_); PQ^a, PR^c, PS^b; |PS|=|PR|, |PR|=|PQ| =>|PS|=|PQ|; ÐSPQ - бисс s. Рассмотрим симметрию с осью s. S_s - осевая симметрия: b«a; a||b => b||a.

3. если две || - ные прямые противорасположены (лежат в разных полуплоскостях) 3-ей прямой, то они || - ны ей в том же направлении, что и сами.

4. две различные прямые, || - ные третьей прямой || - ны м/у собой в том же направлении.

5. если накрестлежащие углы, образованные при пересечении 2-х прямых третьей равны, то эти 2 прямые сверх ||-ны.

Дано: ÐА=ÐВ. Док-ть: a)(b. 1. Если предположить, что b∩a=P => $f: ÐA«ÐB; b∩a=P® b_∩a_=P'. PP' - не единственная - противоречит аксиоме.

2. пусть b||a вправо. $f: ÐA«ÐB, b«a_, a«b_; b||a => b_||a_; b||a в 2-х направлениях - противоречие; b∩a=Ø, b╫a => b)(a.

Сл: если при пересечение двух прямых 3-ей, сумма внутренних односторонних углов = 2-м прямым углам, то прямые сверх || (обратное не верно).

6. при пересечении 2-х ||-ных прямых 3-ей, сумма внутренних односторонних углов со стороны ||-ти этих прямых <2d.

Теорема о сверхпараллельных прямых: любые две сверх ||-ные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.

$ р^а, р^b_; $ q^а, q^b; O - середина [AB], OC^b; OÎu^q, OÎv^p; Ð1 - угол ||-ти [OB], Ð2 - угол ||-ти [OA]; [OA]=[OB] => Ð1=Ð2; u||q, q||b => u||b; v||p, p||b_ => v||b_; => Ð3=Ð4 - как углы ||-ти [ОС]. Ð1+Ð4=Ð2+Ð3; ÐCOA=ÐCOB=p/2; OC - общий перпендикуляр a и b. Доказать, что ОС - единственная; допустим, что их 2: мы получим 4-угольник СОО₁С₁ с 4-мя прямыми углами, их сумма =4d. А она д.б. <4d, получили противоречие => OC - единственная.

Опр: углом ||-ти отрезка называется угол, образованный этим отрезком и прямой проходящей ч/з один конец этого отрезка ||-но перпендикуляру к отрезку проходящему ч/з второй конец.

Т.: Система аксиом пл-ти Лоб.непротивор-ва. Для док-ва достат-но постр-ть модель, напр-р, модель пуанкаре.

В пл-ти Лобачевского для взаимн.распол-я 2-х различн. прям.возможны три случая: 1. Прямые a и b пересек-ся. Св-ва: 1)расстояние от точек прям. адо прям. b неограниченно увелич-ся при удал-ии от точки пересеч-я; 2)сущ-т две оси симметрии (биссектрисы углов, образованных прямыми)

2. Прямые a и b параллельны: Опр.: aççb в данном направл-ии, если a)aÇb=0; b)("AÎa)("BÎb) любой внутрен. Луч из ÐВАа пересек-т b. Можно д-ть, что это опред-е корректно, т.е. не зав-т от выбора точек AÎa и BÎb. Св-ва: 1) aççb в данном направл-ииÞ bçça в том же направл-ии; 2) aççb, bççcÞ aççc, если a,b,c-различны;3)ÐaAB+ÐABb<p; 4)$!ось симметрии.