Непрерывность функции

Пусть на нек-ом пром-ке задана ф-я y=f(x),x0–точка этого пром-ка. Опр:Ф-я f(x) непр-на в т.х0,если limf(x)=f(x0)при х®х0.Это рав-во в случ непр-ти ф-ии м. трактовать в виде f(x0)=f (lim x)при х®х0 Опр Ф-я наз непр-ой на мн-ве Х,если она непр-на в кажд.точке этого мн-ва·по Коши:f(x) непр-на в т.х0,если для"ε>0,найд-ся такδ>0,что для всех х, удовл-щих нерав-ву Ix-x0I<δ вып-ся нер-воIf(x)-f(x0)I<ε ·по Гейне (в терм-х послед-ти)Ф-я f(x) наз непр-ой в т.х0,если для "посл-ти знач-ий х:x1,x2…xn,сход-яся к х0 посл-ть соот-щих знач-й ф-и f(x1),f(x2)…f(xn) сход-ся к f(x0)·на языке приращений:дадим т.х0 приращ-иеΔх,Ф-я при этом получит приращ-е Δу=f(x0+Δx)-f(x0).Для того чтобы f(x) была непр-на в т.х0 необ-мо и дост-но,чтобы ее прир-ие∆у®0 вместе с прир-ем∆х,т.е ¥ мал прир-ю ф-и соотв-ет ¥ мал прир-ие арг-та·в терминах окрест-ти:f(x) непр-на в т.х0,если для"U-окр-ти т.f(x0) $V-окр-ть т.х0,что для"хÎV-окр-ти знач-е ф-ииf(x)ÎU-окр-ти Т (Больцана-Коши 1 о корнях ф-ции):пусть ф-я f(x) опр-на на [a,b] непр-на на этом отр-ке,причем на концах его прин-ет знач-я разн знаков(f(a)<0,f(b)>0)Тогда на [a,b] найдется хотябы одна т.х=с,что f(c)=0. (рис1)

.Д-во.Пусть для определ-ти f(a)<0,f(b)>0разобьем [a,b] точкой (b-a)/2 и найдем знач-е ф-и в этой точке.Еслиf((b-a)/2)=0,то Т док-на.Если нет,то выберем ту половину,на концах кот ф-я прин-ет знач-я разн знаков и обоз-им ее сегмент [a1,b1].Разобьем его пополам и выч-им знач-е в т.(b1-a1)/2.Если знач-е ф-и в этой точке равно 0,то Т д-на.Если нет,то снова делим пополам и т.д.В итоге или мы найдем корень или этот проц-с деления будет беск-ен.В первом случае Т д-на.Во втор.случ. получим беск-ую систему влож-ых сегм-ов [a1,b1]É [a2,b2]É …[an,bn]… Эта сист-а стягивающаяся т.к длина сегм-та [an,bn]=(b1-a1)/2n →0 при n →¥По Т Кантера(сист влож-ых друг в друга отр-ов,если она стягив-ся, им одну и только одну точкуÎ всем сегм-ам)этой сист-еÎ единст-я т.с,причем lim(an)=c при n→¥И lim(bn)=c при n®¥По постр-ию f(an)<0, f(bn)>0 переходя к lim этих нерав-в получим limf(an) =f(с)<=0 при n®¥ и limf(bn)=f(c)>=0.при n®¥ЭтоÞиз непр-ти ф-й в т.с и из Т о том что если посл-ть принимает отриц-е знач-я то и lim не м.б. полож-м.Эти два нер-ва совместимы, если f(c)=0. Т (Больц-Коши 2 о промеж-ых знач-ях)пусть на[a,b] задана непр-ая ф-яf(x),кот.на концах приним-ет разл-е знач-я f(a)=A,f(b)=B Тогда какое бы мы число не взяли,А<C<B на [a,b] найдется т.x=c,такая что f(c)=C. (рис2)

Д-во. Введем вспом-ую ф-ию g(x)=f(x)-c (1)эта ф-ия непр-на на[a,b] как разность двух непр-ых ф-й,причем на концах эт. отр-ка она принимает знач-ия разных знаков g(a)=f(a)-c=A-c<0, g(b)=f(b)-c=B-c>0 По 1Т Коши на[a,b] найдется т.х=с что знач-ие g(c)=0 т.е g(c)=f(c)-C=0,f(c)=C. Замеч-е теорему м. высказать так:если ф-я непр-на на[a,b] то ее знач-ия заполняют нек-ый пром-ок всплошь Т (Вейерш-са 1 об огран-ти) если ф-я f(x) непр-на на[a,b],то она огр-на т.е найдутся так числа m и M что m<=f(x)<=M для "х из[a,b]. (рис3)

Д-во:док-ем огр-ть ф-и сверху от прот-го т.е пустьf(x) не огр-на сверху.Это значит что какое бы больш число M не взяли найдется так т.х, что f(x)>M.Будем давать знач-ия M=1,2,...,n,... При M=1 найдется на[a,b] т.х1, что f(x1)>1.При M=2 на[a,b] найдется т.х что f(x2)>2 и т.дПри M=n на[a,b] точка хn что f(xn)>nПолучили на[a,b] посл-ть точек х1...хn,причем посл-ть знач-ий ф-и f(xn) ®¥ или lim f(xn)=¥ при n®¥.(2)Из посл-ти выбранных точек по Т Бол-Вейер-са,(из" огр-ой посл-ти xn можно выделить сход-ся подпосл-ть),выберем сход-ся подпосл-ть{xn_k}Пусть она сход-ся к т.с,сÎ[a,b] и в ней f(x) непр-на.Это значит limf(xn_k)=c при к®¥.(3) С др.стор т.к посл-ть f(xn)®¥,то f(xn_k)®¥ (4) Из (3),(4)®против-иеÞпредпол-ие об неогр-ти сверху неверноÞф-ия огран-на сверху.Анал-но д-ся огр-ть снизу Т (Вейерш-са 2 о достижении непр-ой ф-ии своих точных границ т.е мах и min знач-ий) если ф-я f(x) непр-на на[a,b], то она на нем достигает своего min и мах знач-ий. Д-во: по 1Т Вейер-са ф-я огр-на и сверху и снизу т.е m<f(x)<Mпусть число M точн верх гр-ца т.е sup f(x)=M на[a,b], т.е f(x)<=M при "xÎ[a,b].Покажем чтоf(x) достигает точ гр-цы т.е найдется т.х1 что f(x1)=M. Д-ем от прот-го: пусть f(x) не достигает точ верх границы т.е f(x)<M, "x Î[a,b].Рассм-им вспомог-ую ф-ю g(x)=1\(M-f(x)).Эта ф-я непр-на на[a,b] т.к M-f(x)¹0Þпо 1Т Вейер-са эта ф-я огр-на и сверху и снизуПусть она огр-на сверху числом b>0, т.е 1\(M-f(x))<b "x Î[a,b].Þ найдем f(x):f(x)<M-1\b при "хÎ[a,b].Выходит число М-1\b явл-ся также точной верх границей.Этого быть не может т.к M точн верх.граница.