Производная функции

I. задачи, приводящие к понятию производной.

S(t)=gt²/2 , Vмг=V(t)-? От момента времени t перейдем к моменту

времени t+t, найдем путь:

S(t)= S(t+t)-S(t)=g(t+t)²/2-gt²/2=(gt²-2gtt+g(t)²-gt²+t)/2=

gt(2t+t)/2

движение мат. точки мы можем охарактеризовать средней скоростью Vср=S(t)/t Vcp=gt(2t+t)/2t=(2gt+gt)/2

Чем меньше t, тем точнее характер движения т.М lim(t­­à0)Vcp= lim(2gt+gt)/2 = gt= Vмг, т.о. Vмг= V(t)= limVcp= limS(t)/t= lim(S(t+t)-S(t))/t при tà0

II. Задачи о написании уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Опр: предельное положение секущей M0N, которая она стремиться занять при неограниченном приближении

т.М вдоль кривой L к т.М0 — наз. Касательной кривой L.

M0(x0,f(x0));

Kсек= tg (f(x +x)-f(x0))/x; f(x0)/x= y/x;

Ккас= limКсек при МàM0 или limf(x0)/x при xà0;

Ккас= lim(f(x0+x)-f(x0))/x при xà0

Опр.: Производной от данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Процесс отыскания производной функции называется дифференцированием функции.

Механический и геометрический смысл производной.

V(t)= limS(t)/t (при tà0)= S’(t); a(t)= limV(t)/t (при tà0)=a’(t); kкас= lim f/x (при xà0)= f’(x0).

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к функции в этой точке.

y=f(x); y-y0=kкас(x-x0) M0(x0;y0); y-y0=f’(x0)(x-x0);

нормаль — это прямая, проходящая через т.М0 и перпендикулярна прямой кнорм = -1/kкас =-1/f’(x0); y-yo=(-1/f’(xo))*(x-xo)–уравнение нормали;

Пусть y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке Х, т.е.

dy=f ’(x)dx=(x), где x- некоторая функция аргумента Х. d(x)= d(dy)=

d²y — дифференциал второго порядка.

dⁿy= d(d^n-1y)

Дифференциал n-го порядка — это дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка.

dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)*dⁿ(x)

1. Производная постоянной функции равна нулю: f(x)=c то, f ’ (x)=0

2. Производная суммы равна сумме производных: (u(x)+v(x))’=u’(x)+v’(x).

Док-во: (u(x)+v(x))’= lim(u(x+x)+v(x+x)-[v(x)+u(x)])/x (при xà0)= lim(u(x+x)-u(x))/x + lim(v(x+x)-v(x))/x (при xà0)= u’(x)+v’(x)

3. (u(x)*v(x))’=u’(x)v(x)+v’(x)u(x).

следствие: постоянный множитель можно выносить за знак производной (k*v(x))’=k*v’(x).

4.(u(x)/v(x))=(u’(x)*v(x)-v’(x)*u(x))/u²(x)

Производная сложной фун-ии: Теорема: пусть 1) u(x)=(x) имеет в т.xo производную u’x=f’(xo); 2) y=f(u) имеет в т.uo производную y’u=f’(uo), тогда сложная функция y=f((x)) в т.хo будет иметь производную рваную произведению простых функций y=(x), y=u(x) т.е. [f((x)]x= f’(uo)*’(xo)= y’u*y’x.

Производная обратной функции. Теорема: если функция y=f(x) имеет в т.х отличную от нуля производную и обратная ей функция х=у) непрерывна в т.у, то в данной т. существует производная ’(у)=1/f’(x).

Теорема Ферма: пусть функция у=f(x) определена в некотором промежутке Х =[a,b] и во внутренней т.с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если в этой т. существует конечная производная f’(с), то необходимо f’(с)=0

геометрическая интерпретация этой теоремы

Теорема Ролля: пусть функция у=f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и существует конечная производная этой функции в отрезке [a,b] и на концах отрезка функции принимает равные значения f(a)=f(b), тогда между a и b найдется такая точка с в которой f’(с)=0.

Док-во: т.к. по условию функция определена и непрерывна, то существуют М, m, где m=yнаим, М=унаиб. 1) m=M т.к. х принадлежит [a,b], m<=f(x)<=M, то f(x)=const=c, поэтому в любой точке с из [a,b] f’(с)=0; 2) m<>M, тогда по крайней мере одно из этих значений, например, М функция принимает в некоторой внутренней точке с [a,b], т. е. в точке a<c<b Т.к. в т.с f’(с) существует по условию, то f’(с)=0 в силу теоремы Ферма.

Теорема Лагранжа: 1) пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на [a,b] 2) существует конечная производная f’(x) по крайней мере в открытом промежутке (a,b), тогда между a и b найдется такая т.с, сто для нее выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(с).

(f(b)-f(a))/(b-a)=tg