Условие постоянства функции на промежутке

Т: пусть ф-ция y=¦(x) определена на промежутке X=[a, b] и внутри него имеет конечную производную ¦ ¢ (x), если в каждой точке этого промежутка ¦ ¢ (x)=0, то f(x)ºc - const.

Док-тво:

Это условие достаточно и необходимо (условие: ¦ ¢ (x)=0), т.к. если f(x) - const, то f ´ (c)=0.

Следствие: рассмотрим 2 ф-ии f(x) и g(x), определенные в некотором промежутке Х и имеющие внутри него конечные производные f ´ (x) и g ´ (x). Если для всех хÎХ, f ´ (x)=g ´ (x), то на всем промежутке Х эти функции отличаются др. от др. лишь на постоянную, т.е. f(x)=g(x)+с, c-const.

Обратная: если f ´ (x)=0 и ф-ция дифференцируемая, то по Т. Лагранжа Dy=f ´ (x)*Dx=0, т.е. приращение ф-ции =0 при " Dx => Dy=0 при " Dx => ф-ция м.б. только const.

Возрастание и убывание ф-ии на пром-тке (монотонность):

Возрастание: y=f(x); x₁<x₂;f(x₁)<f(x₂); К_кас>0; f ´ (x₀)= К_кас>0.

Убывание: y=f(x); x₁<x₂;f(x₁)>f(x₂); К_кас<0; f ´ (x₀)= К_кас<0.

Опр: y=f(x) наз-ся ↑- щей { ↓ -щей} на [a, b], если "x₁, x₂ Î [a, b], таких, что х₁ < x₂ соответствующие значения ф-ции удовлетворяют неравенству f(x₁)<f(x₂) {f(x₁)>f(x₂)}.

Необход-мое условие: T1 и Т1 ´: если ф-ия y=f(x), имеющая производную на [a, b], возрастает {убывает} на этом отрезке, то ее произв-ная на [a, b] f ´ (x)³0 { f ´ (x)£0}

Док-тво: y=f(x)- возрастает. Док-жем, что f ´ (x)³0.

(a) при ∆x>0; x<x+∆x => f(x+∆x)-f(x)>0 б) при ∆x<0; x>x+∆x => f(x+∆x)-f(x)<0 ) => , т.е.

" ∆x: в силу соотв-вий Т о пределах. Т - док-на.

Аналогично док-тся Т1 ´.

Достаточное условие: Т2 и Т2 ´: если ф-ия y=f(x) непрерывна [a, b] и дифференцируема в промежутке (a, b), причем f ´ (x)>0 {f ´ (x)<0} для всех хÎ(a, b), то эта ф-я возрастает {убывает} на [a, b].

y=f(x) - определена и возрастает на [a, b], диф-маркетинг в (a, b); f ´ (x)>0. Док-ем, что f(x) - возрастает на [a, b].

x₁, x₂Î[a, b]; x₁<x₂; док-ем, что f(x₁)<f(x₂); f(x₁)-f(x₂)=f ´ (c)*(x₁-x₂), где с - м/у х₁ и х₂, т.е. x₁<c<x₂ => cÎ[a, b], т.е. f ´ (c)>0 (по усл). Так как х₁<x₂, то х₁-x₂<0 => f ´ (c)*(x₁-x₂)<0; f(x₁)-f(x₂)<0, т.е. f(x₁)<f(x₂) => y=f(x) - возрастает.

Экстремум:f(x) на [a,b] имеет в x₀ Î [a,b] max {min}, если $ такая окрестность т. х₀ (х₀-d, х₀+d), что для всех х из этой окрестности (кроме х₀) справ нер – во f(x)<f(x₀) {f(x)>f(x₀)}. Необх-мое усл-ие экстремума (Т Ферма) Пусть f(x) опред-на на нек-ром промеж-ке, и во внутр-ей т-ке х₀ этого пром-ка имеет наиб-шее и наим-шее значение. Тогда если в т х₀ $ конечная произв-ная то она = 0, т. е. f^/(х₀) = 0, то точка х₀ - точка экстремума.

Дано: y=f(x); xÎD(f); f ´ (x) $ для хÎD(f); x₀-точка max (min).

Док-ем, что f ´ (x)=0.

Т.к. х₀ - точка экстемума, то $ некоторая d - окрестность в точке х₀: (х₀-d, х₀+d)ÎD(f), относительно, которой f(x₀) является наибольшим (наименьшим) значением ф-ции, т.е. на интервале (х₀-d, х₀+d) для ф-ции y=f(x) выполняется условие теоремы Ферма => f ´ (x)=0.

Но это необх-мое, но не дост-ное усл –е, м. оказаться, что в т-ке х₀ произв = 0, но экстремума в ней нет. Примером такой f=x³ в т х₀= 0.

Достаточное условие экстремума: пусть ф-я y=f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х₁ и дифф-ма во всех точках этого интервала (кроме б. может самой точки х₁), если при переходе слева направо ч/з точку х₁ производная меняет знак с "+" на "-", то при х=х₁ ф-я имеет максимум. Если при переходе слева направо ч/з т. х₁, производная меняет знак с "-" на "+", то ф-я имеет в этой точке минимум.

Док-тво: пусть х₁ - критическая точка, f ´ (x)>0 при x<x₁ и f ´ (x)<0 при x>x₁. Докажем, что х₁- точка max, другими словами f(x)<f(x₁) для некоторой окрестности точки х₁.

х₁-d,х,c,х₁,c,x,х₁+d

пусть x<x₁, тогда на [x, x₁] ф-я y=f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа, f(x₁)-f(x)= f ´ (c)*(x₁-x)>0 => f(x)<f(x₁).

пусть x>x₁, тогда на [x₁, x] ф-я y=f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа, f(x)-f(x₁)= f ´ (c)*(x-x₁)<0 => f(x)<f(x₁). Т.е. для "хÎ(х₁-d, х₁+d); f(x)<f(x₁) => точка х₁ - точка max.

Т: достаточное условие $ экстремума в терминах 2-ой производной: пусть в точке х₁ из D(f), f ´ (x)=0 и f ´´ (x) $ и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁. Тогда при х=х₁ ф-я имеет максимум, если f ´´ (x)<0 и минимум, если f ´´ (x)>0. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения ф-и на [a,b]: 1. найти критические точки.(f ´ (x)=0) 2. Из найденных критических точек выбрать те которые Î[a, b]. 3. Вычисляются значения ф-ии в критических точках, Î[a, b] и на концах отрезка. 4. Из полученных значений выбир-тся наибольшее и принимается за набольшее значение ф-ии и наименьшее, которое принимается за наименьшее значение ф-ии на этом отрезке.

Т. Ферма: пусть ф-ия y=f(x) определена в некотором промежутке X=[a,b] и во внутренней точке с, (т.е. a<c<b) этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение, если в этой точке $ конечная производная f ´ (c), то необходимо f ´ (с)=0.

Точки в которых произв = 0, не $,¥ называются стационарными или подозр-ми на экстремум. Пусть т х₀ – одна из подозр точек, предположим в некоторой окрестн-ти (х₀-d, х₀+d) за исключ х₀ $ конечн произв имеющая н (х₀-d, х₀) и (х₀, х₀+d) постоян знаки. В зависим от распред знаков слева и справа от х₀ возм случаи: 1) f^/(x)>0 при х < х₀ и f^/(x)<0 при х > х₀, т. е. в т х₀ – max; 2) f^/(x)<0 при х < х₀ и f^/(x)>0 при х > х₀, т. е. в т х₀ – min;3) f^/(x)>0 при х < х₀ и f^/(x)>0 при х > х₀ или f^/(x)<0 при х < х₀ и f^/(x)<0 при х > х₀ в т х₀ ни max, ни min. Итак, если ф – ция меняет знак при переходе ч – з т х₀, то в этой точке ф – ция имеет экстремум. Это дост усл – е экстремума. Пример: у = 1/3х³-5/2х²+6х, у^/ = х² - 5х + 6, у^/=0, х² - 5х + 6=0, х₁= 2, х₂ = 3 – эти точки подозр на экстр, других точек подозр на экстр нет. Имеем, у^/<0 при 2<x<3 и у^/>0 при х>3, т. е. х₂ – min. Выпукл и вогн Кривая в т М вогнута вниз (вверх), если в некоторой ее окрестности она лежит ниже (выше) касат-ной. М – т перегиба, если кривая переходит в М с одной стороны касат на другую.

Кривая на [a,b] называется выпуклой вверх {выпуклой вниз} если все точки кривой лежат ниже {выше} любой ее касательной на этом отрезке.

Т и Т ´: если во всех точках отрезка [a,b] вторая производная ф-и f(x) отрицательна {положительна}, т.е. f ´´ (x)<0 { f ´´ (x)>0}, то кривая y=f(x) на этом промежутке выпукла вверх {выпукла вниз}.

Док-тво: y=f(x); xÎ[a,b]; f ´´ (x)<0; xÎ(a,b). Докажем, что y=f(x) выпукла вверх.

x₀Î[a,b]. - ординаты точек касательной.

-y₀= f ´ (x₀)*(x-x₀) или =f(x₀)+f ´ (x₀)*(x-x₀).

1. пусть x<x₀. Оценим разность. - y= f(x₀)+f ´ (x₀)*(x-x₀)-f(x)=(f(x₀)-f(x))+f ´ (x₀)*(x-x₀)= f ´ (c₁)*(x₀-x)+ f ´ (x₀)*(x-x₀)= f ´ (c₁)*(x₀-x)-f ´ (x₀)*(x₀-x)=[ f ´ (c₁)-f ´ (x₀)]*(x₀-x)= f ´´ (c₂)*(c₁-x₀)*(x₀-x)>0, т.е. => >y для x<x₀.

2. Пусть x>x₀. - y= f(x₀)+f ´ (x₀)*(x-x₀)-f(x)=(f(x₀)-f(x))+f ´ (x₀)*(x-x₀)= [ f ´ (c₁)-f ´ (x₀)]*(x₀-x)= f ´´ (c₂)*(c₁-x₀)*(x₀-x)>0, т.е. => >y для x<x₀

y=f(x) выпукла вверх на [a,b].

Т. Лагранжа: пусть 1. Ф-я y=f(x) определена и непрерывна в [a,b]. 2. $ конечная производная f ´ (х) по крайней мере в открытом промежутке (a,b), тогда м/у a и b найдется такая точка с, a<c<b, что выполняется равенство:

Опр: точка, отделяющая выпуклую вверх часть непрерывной кривой от выпуклой вниз называется точкой перегиба кривой.

Опр: точки, в которых вторая производная =0, или не $ (при существовании самой функции) называются критическими точками второго рода.

Т (достаточное условие существования точки перегиба): пусть кривая определяется уравнением y=f(x), если f ´´ (х₀)=0 или f ´´ (х₀) не $ и при переходе ч/з эту точку х₀, производная f ´´ меняет знак, то точка х₀ - точка перегиба.

Признаки: выпукл кривой f^//<0, вогн-ть кривой f^//>0, необх-мый признак перегиба f^//=0.