http://www.cross-kpk.ru/ims/files/New/07-algebra/html/pr2z19.html

Вопрос 25. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Определение: Линейная комбинация векторов называется вектор , где коэффициенты линейной комбинации α_i – произвольные действительные числа.

Определение: Векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты α_i =0

Определение: Векторы называются линейно зависимыми, если равенство возможно в случае, когда среди коэффициентов α_i найдется хотя бы один, не равный нулю

Теорема: Для того, чтобы векторы были линейно независимые необх. и достат., чтобы ранг матрицы, составленной из координат этих векторов, был равен числу векторов r(A)=k

Теорема: …чтобы были зависимые r(A)=k. При этом векторы, которые входят в базисным минор являются линейно независимыми.

Вопрос 26. N-мерное линейное пространство. Понятие базиса. Теорема о разложении вектора по базису. Переход к новому базису.

· Элементами векторного (линейного) пространства Rⁿ являются упорядоченные наборы действительных чисел (x₁,x₂,..x_n), которые называются n-мерными векторами, числа x_i (i=1,2..,n) называются координатами векторов.

n-мерные вектора обозначаются так =(x₁,x₂,..x_n) или =

· Базисом линейного пространства называется максимальная по числу векторов совокупность линейно независимых векторов данного пространства.

· Теорема о разложении вектора по базису: Любой вектор из пространства Rⁿ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса Rⁿ. Такое представление называется разложением вектора по базису. Коэффициенты линейной комбинации называются координатами вектора в данном базисе и определяются единственным образом

Переход к новому базису: Пусть в пространстве Rⁿ имеются два базиса: старый e₁,e₂,…e_n новый e`<sub>1</sub>,e`₂,…e`_n. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица называется матрицей перехода от базиса e₁,e₂,…e_n к базису e`<sub>1</sub>,e`₂,…e`_n

Вопрос 27. Собственные числа и собственные вектора. Свойства.

Определение и нахождение собственных чисел и собственных векторов:

· Число ƛ называется собственным числом квадратной матрицы , если существует такой вектор ≠0, что справедливо равенство A . Отличный от нуля вектор называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному значению ƛ.

· Равенство A можно записать в виде (A-ƛE) =

· Для того, чтобы ƛ было собственным числом матрицы A, необх. и дост, чтобы ƛ было корнем характеристического уравнения P_n(ƛ)=0 этой матрицы. |A-ƛE| =0 - характеристическое уравнение матрицы.

Свойства собственных векторов:

· Каждому собственному числу соответствует бесконечное множество собственных векторов

· Любая линейная комбинация собственных векторов матрицы, соответствующих одному и тому же собственному числу ƛ, является собственным вектором для того же числа ƛ

· Собственные векторы матрицы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

Вопрос 28. Квадратичная форма - определение, форма записи, свойства. Теорема о положительно (отрицательно) определенной квадратичной форме.

Квадратичная форма – сумма слагаемых, каждое из которых представляет собой квадр. переменной или произведение двух различных с каким-то коэффициентом.

Если в действительном линейном пространстве Lⁿ фиксирован некоторый базис B=(e₁,...,_en), то квадратичная форма A(x,x) в этом базисе имеет вид

A(x,x)= , где A= =

- матрица квадратичной формы и x=x₁e₁+...+x_ne_n

Пример:

x²₁+26x²₂+10x₁x_2. Матрица квадратичной формы имеет вид: A=

· В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L=X^TAX, где X=(x₁,x₂…x_n)^T - матрица-столбец переменных.

пример:

· Квадратичная форма имеет канонический вид (x меняем на y)

Выделим полные квадраты:

Теорема: Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Вопрос 29. Комплексные числа во всех формах. Все действия с ними на примерах.

Комплексным числом z называется число вида z=x+iy, где x;y - действительные числа, i- мнимая единица. (x – действительная часть; iy – мнимая часть). i²= -1

· Сложение комплексных чисел:

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂) нужно сложить действительную и мнимую части

· Вычитание: аналогично сложению

z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂)

· Умножение: i²= -1

· Деление: домножить на сопряженное. z₁=13-i и z₂=7-6i Ответ: 1+i

Любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме: z=|z|(cosφ+isinφ) |z|=r=

x=rcosφ

y=rsinφ

tgφ=

· zⁿ=rⁿ(cos nφ+isin nφ) – формула Муовра

· = = (), где k=0,1…n-1

Формула Эйнера: =e^{i φ} r()=re^iφ

Вопрос 30. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовая модель)

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Математическая модель Леонтьева позволяет анализировать связь между отраслями.

В таблице приведены данные об использовании стоимостного баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Требуется:

1) составить матрицу прямых затрат и проверить ее продуктивность;

2) вычислить объемы конечного продукта при увеличении валового выпуска каждой отрасли соответственно на 100% и 50%;

3) Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление отрасли Q₁увеличить в k = 1 раз, а отрасли
Q₂ – на 10%.

Решение: 1. Введем в рассмотрение матрицу и векторы

Составим матрицу прямых затрат А, учитывая, что ее элементы

Легко видеть, что сумма элементов столбцов (строк) А меньше единицы. Следовательно, в силу второго критерия продуктивности (матрица продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы) матрица А продуктивна.

2. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид:

При увеличении валового выпуска отраслей Q₁ и Q₂ соответственно на 100% и 50% получим новый вектор валового выпуска

Вектор потребления соответствующий вектору найдем из уравнения баланса:

.

Изменения объемов конечного продукта Q₁ на 182 – 89 = 93 ед. или 104,5%, Q₂ – на 129,5 – 98 = 41,5 ед. на 47,2%.

3. Конечное потребление отрасли Q₁ остается без изменения, а отрасли Q₂ станет равным Получим новый вектор потребления

.

Новый вектор валового выпуска найдем из уравнения баланса

.

Обратная матрица

Откуда

Валовый продукт отраслей необходимо увеличить Q₁ на 0,38%, Q₂ – на 9,88%.