Выберите несколько теорем. Докажите, что каждое условие теоремы является необходимым

Рассмотрим первую теорему Больцано-Коши. Она имеет два условия:

1) Функция f(x) должна быть определена и непрерывна в [a;b];

2) Значения f(a) и f(b) должны иметь разные знаки.

Докажем, что эти условия являются обязательными:

1)Исключим первое условие. В таком случае, имея разрыв, функция может сменить знак и, не обращаясь в ноль. Так будет, например, с функцией , на промежутке [-1;1]. Действительно, функция имеет разрыв при , следовательно, первое условие – не выполняется. Также верно и то, что на концах промежутка, функция имеет значения разных знаков: , следовательно, второе условие выполняется. Однако, функция меняет знак и без обращения в 0, что легко доказать: предположим обратное – пусть f(x) имеет значение 0, на заданном промежутке. Попробуем найти значения x, при которых f(x)= = 0. Для этого составим уравнение: . Так как уравнение не имеет корней, то во всем множестве вещественных чисел нет такого значения x, для которого было бы справедливо равенство f(x) = 0, следовательно, в заданном промежутке такого значения нет и подавно.

Из этого следует, что условие №1 является обязательным.

2)Исключим второе условие. В таком случае, функция также может и не обращаться в ноль. Так будет, например, с функцией , на промежутке [-10; 5]. Действительно функция определена и непрерывна на всём промежутке, из чего следует, что первое условие выполняется. Кроме того, на концах промежутка функция принимает значения одинаковых знаков, следовательно, условие №2 не выполняется. И действительно, в таком случае заключение теоремы становится неверным, так как во всем множестве вещественных чисел нет такого значения x, для которого было бы справедливо равенство f(x) = 0, следовательно, и в заданном промежутке такого значения также нет.

Из этого следует, что условие №2 является обязательным.

С остальными теоремами поступаем аналогично.

20.Приведите формулировку основных теорем дифференциального исчисления. Укажите, какие связи существуют между ними. Чем они похожи и чем отличаются?

Пять основных теорем дифференциального исчисления:

· Теорема Ферма (Вопрос №3);

· Теорема Дарбу (Вопрос №9);

· Теорема Ролля (Вопрос №4);

· Теорема Лагранжа (Вопрос №7);

· Теорема Коши (Вопрос №8).

Их формулировка, а также доказательство и т.д. приведены в соответствующих вопросах.

Между этими теоремами существую такие связи:

1) Теорема Ферма используется для доказательства теорем Дарбу и Ролля;

2) Теорема Ролля используется для доказательства теорем Лагранжа и Коши;

3) Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа;

4) Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Также, по ошибке можно посчитать, что из теоремы Лагранжа можно получить теорему Коши. А именно, если формулу конечных приращений: , разделить на . В таком случае, получим , и по ошибке получить:

, однако данное выражение не будет верным, так как точки c скорее всего будут разными для первой и второй функции, следовательно из теоремы Лагранжа можно получить теорему Коши в том, и только в том случае если такая точка c будет единой, как для , так и для , и ни в каких других случаях.

Составить задание на соответствие между условиями выбранных теорем и их заключением

1. Некоторая функция f(x) определена в некоторой окрестности точки с (x є (c-d;c+d)), и f(c) – наибольшее (наименьшее) значение функции в этой окрестности, и $ f’(c) – двусторонняя производная.

2. Функция f(x) определена и непрерывна в [a;b], и f(a) * f(b) < 0

3. Функция определенна и непрерывна в [a;b]

4. Функция определена и непрерывна в [a;b] и если f(a) = A и f(b) = B, причём A ¹ B

a) Тогда для такой функции $ c є [a;b]: f’(c) = 0.

b) Тогда для такой функции: f’(c) = 0

c) Тогда для такой функциисправедливо, что "C є (A;B) $ c є (a;b): f(c) = C

d) Функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений

e) Тогда для такой функции $ с є (a;b): f(c) = 0

Date: 2016-02-19; view: 527; Нарушение авторских прав