Теорема о единственности предела последовательности. Формулировка, доказательство, анализ, применение

Формулировка:

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Для доказательства необходима такая лемма:

Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы имел вид , n =1,2,…, где есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Предположим противное. Это означает, что существует последовательность , имеющая два различных предела а и в. По лемме и , где и – бесконечно малые последовательности, откуда получаем . Так как все элементы бесконечно малой последовательности имеют одно и то же значение в - а, то в - а =0, то есть в = а, что противоречит предположению. Теорема доказана.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Метод «от противного»;

· Введение вспомогательных элементов;

· Сведение задачи, к уже решённой задаче.

Единственным условием теоремы можно назвать существование предела, причём необходимость этого условия – очевидна.

Применение:

· Используется для доказательства других теорем.