Второй замечательный предел. Формулировка, доказательство, геометрическая интерпретация, использование

Формулировка:

Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Доказательство:

1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков , поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка c, разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки и , принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров , начиная с некоторого будет выполняться неравенство

Взяв в этом неравенстве , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью.

Анализ:

Для доказательства леммы использовались такие методы:

· Сведение решения задачи к решению подзадач;

· От противного;

· Сведение задачи к другой, уже решенной задаче.

Применение:

· Используется в доказательствах множества теорем (первая теорема Больцано - Коши, лемма Больцано - Вейерштрасса и т.д.)