Теорема Ферма. Формулировка, доказательство, анализ, применение

Формулировка: Если некоторая функция f(x) определена в некоторой окрестности точки с (x є (c-d;c+d)), и f(c) – наибольшее (наименьшее) значение функции в этой окрестности, и $ f’(c) – двусторонняя производная, то f’(c) = 0.

Доказательство:

1) Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки с,

пусть f(с) – наибольшее значение => " x є (c-d;c+d): f(x) ≤ f(c), пусть $ f’(c) – двусторонняя производная => f’(c) = f’(c + 0) = f’(c - 0). Рассмотрим 2 случая:

а) х > c

б) x < c

То есть получаем, что:

f’(c) = f’(c + 0) = f’(c - 0)

f’(c - 0) ≥ 0

f’(c + 0) ≤ 0

Выполнение всех трёх условий возможно только если:

f’(c) = f’(c + 0) = f’(c - 0) = 0, что и требовалось доказать.

2) Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки с,

пусть f(с) – наименьшее значение => " x є (c-d;c+d): f(x) ≥ f(c), пусть $ f’(c) – двусторонняя производная => f’(c) = f’(c + 0) = f’(c - 0). Рассмотрим 2 случая:

а) х > c

б) x < c

Тогда, получается, что условие f’(c) = f’(c + 0) = f’(c - 0) выполняется только если,

f’(c) = f’(c + 0) = f’(c - 0) = 0, что и требовалось доказать.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Метод дедукции;

· Перебор вариантов;

· Сведение решения задачи, к решению подзадач.

Все три условия теоремы обязательны, потому как если исключить хотя бы одно из них, то теорема будет неверна. Доказательство этого:

1)Исключим первое условие, тогда получим, что наша функция неопределенна в некоторой окрестности, соответственно тогда и производной в данной окрестности не существует, поэтому в таком случае теорема теряет какой-либо смысл.

2)Исключим второе условие. Получим, что f(c) – не является наибольшим (наименьшим) значением функции в заданной окрестности, тогда выражение " x є (c-d;c+d): f(x) ≤ f(c) – неверно и из этого следует, что составленные нами неравенства неверны и сама теорема также неверна.

3)Суть теоремы состоит в том, чтобы доказать, что двусторонняя производная f’(c) = 0, при выполнении 3-х условий. Если мы исключим 3-е, то это значит, что мы скажем, что двусторонней производной не существует и тогда теорема потеряет всякий смысл.

Применение:

· Используется для доказательства других теорем (теорема Ролля, теорема Дарбу и т.д.)

· Активно используется для решения задач, где необходимо найти точки экстремума.

· Используется в задачах по поиску некоторых максимальных (минимальных) значений.