Вычисление производной, для функции заданной параметрически

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Рассмотрим это на таком примере:

Выразим из первого уравнения параметр:

Теперь подставим его во второе уравнение:

В результате получили обычную функцию, производную которой можно легко найти по методам, которые были описаны выше.

В более сложных случаях таким методом не воспользоваться, однако существует специальная формула:

Для того, чтобы понять, как ей пользоваться рассмотрим несколько примеров:

1) Найти производную от функции, заданной параметрически:

Используем ту самую формулу:

Найдём y’t и x’t:

Таким образом:

Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать.

2) Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически:

Сначала найдем первую производную.
Используем формулу

В данном случае:

Подставляем найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :

Найдем вторую производную.
Используем формулу: .

Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «t»:

Осталось воспользоваться формулой:

Готово.