Вычисление производной, для функции заданной неявно

Для того, чтобы понять, как именно осуществлять нахождение производной для таких функций, рассмотрим пример:

Найти производную для функции:

Возьмём производную от левой и от правой части:

Как брать производную от частей, в которых нет y, рассматривалось выше. Что же с теми частями, где он есть? Рассмотрим каждую такую часть отдельно:

1) - производная от функции равна её производной: .

2) Как дифференцировать По правилу сложной функции (рассматривались выше), так как y – это сама по себе функция, то (sin(y)) – сложная функция, при чем синус – внешняя, y –внутренняя. Таким образом, получаем:

3) Произведение дифференцируем по обычному правилу

:

Стоит также отметить, что (y ^ 2) – тоже сложная функция:

Теперь на соответствующие места подставим полученные значения и получим:

Производная найдена, что и нужно было сделать.