Тема 1.9. Оптимизация и поиск экстремумов функций

Локальные и глобальный экстремумы.

Функции Minerr, Maximize, Minimize.

Условный экстремум.

Экстремум функции нескольких переменных.

Линейное программирование.

Локальные и глобальный экстремумы.

Экстремум-это наибольшее или наименьшее значение функции. Локальные экстремумы-это экстремумы в ограниченной области определения функции. В точке экстремума производная функции равна нулю. Касательная к графику функции в точке экстремума направлена горизонтально. Бывают исключения. Например, в точке перегиба функции производная тоже равна 0.

Функции Minerr, Maximize, Minimize.

Для поиска локального максимума используется функция Maximize, а для поиска локального минимума используется функция Minimize.

Эти функции имеют два аргумента. Первый аргумент является именем функции, экстремум которой ищется. Второй аргумент является именем независимой переменной функции.

Функции возвращают значение независимой переменной, при котором достигается экстремум.

Зададим функцию, экстремумы которой надо отыскать. Начертим график этой функции. Отыщем экстремальные значения функции.

Для начала поиска экстремума требуется задать точку, от которой начнётся поиск экстремума.

Функция определила ближайшую к нулю точку локального минимума

Если задать другую начальную точку поиска, то будет найдена, возможно, другая точка локального минимума.

Для поиска локального максимума используем функцию Maximize

Можно выбрать такую начальную точку, поиск от которой уведёт в бесконечность и результат не будет выдан

Условный экстремум.

Если ограничить область поиска точек экстремума какими-то условиями, то будет найден условный экстремум.

Дополнительные условия, ограничивающие поиск указываются в вычислительном блоке Given, расположенном перед функцией Minimize или Maximize.

Например, если ограничить область поиска максимума функции, то задача всегда будет решена. Функция выдаёт либо точку, в которой производная равна 0, либо точку на границе области поиска.

Экстремум функции нескольких переменных.

Нахождение экстремумов функции нескольких переменных осуществляется подобно тому, как находились экстремумы функции одной переменной. Задаётся функция, например, двух переменных. Затем указываются координаты начальной точки поиска. Затем указывается функция Minimize или Maximize

Если требуется найти условный экстремум, то условие указывается в вычислительном блоке, задаваемом словом Given. Ниже приведён пример нахождения экстремума функции, которая задаётся пересечением параболоида вращения с вертикальной плоскостью, которая пересекает горизонтальную плоскость по линии y=x+1. Это условие записано в блоке Given. Знак равенства берётся из панели Boolean.

Линейное программирование.

Линейное программирование-это область математики, которая разрабатывает методы поиска экстремума линейной функции многих аргументов при ограничениях, заданных с помощью линейных равенств и неравенств.

Предположим, что надо решить логистическую задачу перевозки продукции от нескольких производителей к нескольким потребителям. При этом надо минимизировать стоимость перевозки.

Пусть имеется два производителя продукции, расположенных в разных местах страны. Производитель b₀ производит 237 условных единиц продукции. Производитель b₁ производит 278 условных единиц продукции. Представим производителей продукции с помощью вектора, элементы которого соответствуют отдельному производителю.

Пусть имеются три потребителя продукции, расположенных в разных местах страны.

Один потребитель a₀ потребляет 145 условных единиц продукции. Второй потребитель a₁ потребляет 210 условных единиц продукции. Третий потребитель a₂ потребляет 160 условных единиц продукции.

Количество произведённой продукции равно количеству потреблённой продукции.

Определим число потребителей M и число производителей N с помощью функции rows(v), которая имеет аргументом имя вектора или матрицы, а возвращает число строк вектора или матрицы.

Например, стоимость доставки продукции от производителя b₀ потребителю a₂ равна 12 условных денежных единиц.

Обозначим партию поставки от i-ого производителя j-ому потребителю символом x_i,j. Тогда стоимость доставки продукции от производителей потребителям будет выражена следующей функцией стоимости f(x). Где x матрица партий поставки.

Перед вычислением плана поставок не известны величины x_i,j. Поэтому обнулим все элементы матрицы x. Для этого просто приравняем нулю правый нижний элемент матрицы x.

В вычислительном блоке Given укажем ограничения при минимизации функции стоимости.

Первые два уравнения отражают тот факт, что производители b_i распределяют всю свою продукцию между тремя потребителями.

Следующие три уравнения отражают тот факт, что каждый потребитель a_j получает продукцию от двух производителей.

Неравенства отражают тот факт, что поставки не могут быть отрицательными, но могут равняться 0. Продукция не возвращается производителю.

План поставок, при котором минимизируется стоимость доставки продукции, обозначаем именем sol. Этот план находится с помощью функции Minimize.

Суммарная стоимость доставки продукции равна

условных денежных единиц.