Заряд конденсатора

Рассмотрим процесс заряда конденсатора. Электрическая цепь содержит источник постоянного напряжения U (Вольт), ключ S, резистор сопротивлением R Ом и конденсатор ёмкостью C (Фарад). Перед замыканием ключа S напряжение на обкладках конденсатора равно нулю (Uc = 0 В). После замыкания ключа S напряжение Uc будет расти. Требуется определить зависимость от времени напряжения Uc после замыкания ключа S.

Процесс заряда конденсатора описывается дифференциальным уравнением. Выведем это уравнение.

Ёмкость конденсатора связывает заряд конденсатора Qc (Кулон) с напряжением между обкладками конденсатора Uc.

Отсюда следует, что. В свою очередь. В итоге получаем, что. Если продифференцировать левую и правую части уравнения, то получим

Уравнение Кирхгофа для замкнутой цепи примет вид

.

Так как I(t)=Ic(t), то, учитывая связь между током через конденсатор и напряжением на конденсаторе, получим формулу

Подставим это выражение для I(t) в вышеприведённое уравнение и получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс заряда конденсатора (процесс изменения напряжения на конденсаторе от времени).

Перепишем это уравнение несколько иначе

Произведение сопротивления резистора на ёмкость конденсатора называется постоянной времени и обозначается T=R∙C. Именно этот параметр определяет скорость заряда конденсатора.

Докажем с помощью средств Mathcad’a, что размерность произведения сопротивления на ёмкость равна секунде. Для этого введём размерные переменные R и C, а затем подсчитаем произведение T=R∙C. Для ввода размерной переменной надо после численного значения (после 1 в данном примере) ввести знак умножения (*), затем вызвать диалоговое окно, с помощью которого можно задать размерность переменной (сопротивление) Insert/Unit…

Видно, что размерность произведения R и C равна секунде, т.е. размерности времени. Поэтому это произведение называется постоянной времени.

Этот результат можно вывести теоретически.

Размерность сопротивления – Ом равен. Это следует из закона Ома

Размерность ёмкости -Фарада равна. Это следует из уравнения

Размерность заряда-Кулон равен Это следует из уравнения

.

В итоге получаем

Date: 2016-02-19; view: 626; Нарушение авторских прав