Основные теоретические сведения

1. Вычисление двойного интеграла от функции f(x,y) определенной в области D, сводится к вычислению двукратного интеграла вида

(1)

если область D определяется условиями a £ x £ b, f₁(x) £ y £ f₂(x), или вида

(2)

если область D определяется условиями c £ y £ d, j₁ (y)£ x £ j₂ (y). Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

2. Вычисление тройного интеграла от функции f(х,у,z), определенной в области V; сводится к вычислению интеграла вида

(3)

где D_xy – проекция области V на плоскость xOy, z=j₁(x,y) и z=j₂(x,y) уравнение поверхностей, ограничивающих область V соответственно снизу и сверху. В тройном интеграле, так же как и в двойном, порядок интегрирования может быть изменен.

3. Наряду с прямоугольной системой координат в пространстве могут быть введены цилиндрическая и сферическая системы координат (рис. 1). Прямоугольные координаты (х,у,z) точки M связаны с ее цилиндрическими (r,j, z) и сферическими (r, j, ρ) координатами соотношениями

(4)