Частные производные функции двух переменных

Сведения из теории

Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная с множеством значений . Есть также две независимые переменные и . Они принимают такие значения, при которых пары образуют плоскую область .

Определение. Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Термины: - область определения функции; и - аргументы функции.

Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы .

Область называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной.

Пример28. Найти область определения функции .

Решение.

Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:

Ответ. Область определения функции - затемненная область на рисунке.

В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных.

Рассмотрим два частных способа изменения переменных и для функции 2-х переменных.

Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

Определение Частная производная ( читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

Определение. Частная производная ( читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

Замечание. В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно, и (читается дэ z по дэ x,
дэ z по дэ y).

Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другая не меняется и считается константой. При этом функция 2-х переменных фактически становится функцией одной переменной.

Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. .

Пример 29. Найти частные производные функции в точке .

Решение. Вычислим ;

.

Ответ. .

Сведения из теории

Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка и сами являются функциями 2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: , , , . Частные производные , называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ означает, что сначала функция дифференцируется по и получается , а затем уже новая функция 2-х переменных дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.