Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 2 – го типа

Все рассмотренные ранее линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка имели правую часть 1-го типа. Теперь рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения с правой частью 2-го типа.

Анализ правой части второго типа

в общем случае тоже нужно делать. Но мы рассмотрим только ее простой частный случай, а именно: ,
где А и В – конкретные числа, а параметр имеет какое-то конкретное числовое значение. Все неоднородные уравнения с такой правой частью будут подобраны так, что частное решение будут строиться по формуле , где просто переписываются из правой части , а - неопределенные коэффициенты, которые еще нужно найти. Заметим, что в исходной правой части могут присутствовать либо оба слагаемых с и , либо только слагаемое с , либо только с . Независимо от этого первоначально должно содержать оба слагаемых и только в процессе решения может получиться, что либо , либо равны нулю.

Пример27. Найти общее решение уравнения .

Решение. Строим однородное дифференциальное уравнение: . Его характеристическое уравнение с корнями , . Тогда .

Вернемся к исходному неоднородному дифференциальному уравнению: . Еще раз подчеркнем, что рассматриваем только такие уравнения, у которых структура частного решения повторяет структуру правой части, т.е. .

Предварительно вычислим: , . После подстановки в дифференциальное уравнение получаем тождество:

В левой части тождества сгруппируем слагаемые с и слагаемые с : . Приравняем коэффициенты при и слева и справа:

Окончательная формула для примет вид: . Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения:

.

Ответ: