Линейные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью двух типов

Общий вид таких уравнений:

,

где - независимая переменная, - неизвестная функция от переменной , - какая-то конкретная функция от , -- числа. Если функция , то уравнение называется однородным, а если , то неоднородным. Для решения прикладных задач важны два специальных типа правой части .

Первый тип: , где - конкретный многочлен степени n. Многочлен может быть как полным (содержать все степени от n до 0), так и неполным (обязательно содержать , а остальные степени могут отсутствовать).

Второй тип: . Очевидно, что в общем виде он выглядит страшновато. Мы рассмотрим только его простой частный случай, а именно: , где А и В – конкретные числа, а параметр имеет какое-то конкретное числовое значение.

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения такова:

.

Поясним: - это общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному. Однородное дифференциальное уравнение получается из неоднородного заменой правой части на ноль. Далее, - это какое-то одно частное решение исходного неоднородного уравнения.