Существующие определения сходимости случайных величин

Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть предел последовательности.

1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1.

Это не вероятность достоверного события.

2. Сходимость по поверхности.

Счетная последовательность случайных величин сходится к по поверхности, если

3. Сходимость в среднеквадратичном.

Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется

Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности.

Воспользуемся Неравенством Чебышева

При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, т.к. числитель сходится к 0, а знаменатель конечен.

Теорема.

Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1 только тогда, когда

Указанное выше событие имеет своим дополнением событие

и сходимость с вероятностью 1 означает, что P(B)=0.

Очевидно, что условие теоремы достаточно рассмотреть для .

Положим

События В_rm, m=1,2,.... убывают, и для

Докажем это.

Будем искать P(B_r) так

Событие, обратное имеет следующую структуру:

Показать самим, что следующее событие включает предыдущее.

По построению справедлива следующая формула

По третьей аксиоме теории вероятности

Построенный ряд D₁, D₂...D_n образует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху.

Поэтому возможен переход