Связь курса с другими дисциплинами

Учебная дисциплина «Информатика и математика» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин, является базовой дисциплиной цикла для специальности и направления Юриспруденция. Данная дисциплина предшествует дисциплинам «Правовая информатика» и «Информационные системы в юриспруденции».

План изучения курса

График контрольных мероприятий

ТК — текущий контроль (тест)

РК — рубежный контроль (тест)

ИК — итоговый контроль (тест)

Текущий контроль — проводится в виде теста.

Рубежный контроль — проводится в виде теста, охватывающего тематику первой половины курса.

Итоговый контроль — итоговый контроль проводится в виде в виде теста, охватывающего всю проблематику курса.

Тема 1. Основные понятия теории множеств. Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Бинарные отношения

1.1. Основные понятия теории множеств

1.2. Основные операции над множествами

Основные понятия теории множеств

Теория множеств, раздел математики, начало которому было положено работами Джорджа Буля в области математической логики, но в настоящее время больше связанный с изучением множеств абстрактных или реальных объектов, а не с логическими соотношениями. Теория множеств занимается свойствами множеств, отношениями между ними и действиями над ними. Она находит применения во многих других разделах математики.

Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Можно говорить о множестве всех яблонь, находящихся в данном саду, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Яблони данного сада, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Если данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М, записывают так: х Î М (читают: х принадлежит множеству М).

Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называется подмножеством, или частью, множества В. Это записывают так: A É В или В Ì А. Т.е., подмножеством данного множества В является и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В, отличное от всего множества В, называют правильной частью последнего.

Множество может содержать в качестве своего элемента другое множество. Например, множество всех супружеских пар является множеством множеств из двух элементов: (муж, жена). Множество всевозможных конечных наборов натуральных чисел — это множество всех множеств, каждое из которых состоит из натуральных чисел (т.е. элементами первого множества являются множества натуральных чисел, а элементами его элементов являются сами числа).

Множество может содержать не только другие множества, но и само себя. Например, множество всех множеств очевидно содержит само себя в качестве одного из своих элементов (т.к. само оно является множеством).

Мощность множеств. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, соответствие [сокращённо: (1—1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1)-соответствие.

Отображения множеств. В теории множеств. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т.п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества Х и Y, пусть каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие некоторый определённый элемент у = f (x) множества Y; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y, или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X, а значения у принадлежат множеству Y; при этом для каждого данного х Î Х элемент у = f (x) множества Y называется образом элемента х Î Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х.