Ход работы. Гуковское линейно-упругое твердое тело и ньютоновская линейно-вязкая жидкость в некотором смысле представляют собой две крайние модели линейных тел

Гуковское линейно-упругое твердое тело и ньютоновская линейно-вязкая жидкость в некотором смысле представляют собой две крайние модели линейных тел. между тем многие пищевые среды в деформационных процессах проявляют одновременно упругие и вязкостные свойства. Такие пищевые среды называются вязкоупругими. Для них можно построить ряд промежуточных моделей.

Одной из простейших вязкоупругих моделей является механическая модель тела или жидкости Максвелла, которая представляет собой последовательное соединение тел Гука и Ньютона. Символьная формула модели имеет вид М = N – Н.

Символьная формула	Механическая модель	Математическая модель	Примечания
M = N – H			Модель Максвелла

Математическая модель Максвелла строится в предположении, что деформация (пусть для определенности это будет деформация простого сдвига) в некоторой точке среды представляет собой сумму упругой деформации и деформации течения, инерционными эффектами можно пренебречь:

, (1)

где g – общая деформация сдвига; g _H – упругая деформация тела Гука; g _N – деформация течения тела Ньютона.

Из реологических уравнений тел Гука и Ньютона запишем

, (2)

где η – коэффициент динамической вязкости; G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Продифференцируем уравнение (1.92) по времени и подставим выражения (1.93):

(3)

Последнее уравнение (1.94) называется реологическим уравнением тела Максвелла. С помощью этого уравнения, например, можно проанализировать процесс релаксации напряжений в среде при постоянной деформации:

. (4)

Решение дифференциального уравнения (1.95) имеет следующий вид:

, (5)

откуда

. (6)

Константу интегрирования С находим из условия, что в начальный момент времени известно начальное напряжение:

. (7)

Тогда процесс релаксации напряжений при постоянной деформации описывается уравнением

. (8)

С течением времени в теле Максвелла при постоянной деформации напряжение экспоненциально стремится к нулю:

. (9)

Заметим также, что отношение динамической вязкости к модулю упругости имеет размер времени (с^-1). Тогда

; (10)

. (11)

За время t ₁ начальное напряжение уменьшается на 37 %. Это время иногда называют временем релаксации (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Кривая релаксации напряжений

С позиции наглядной механической модели эта математическая модель представляет собой последовательное соединение пружины (тело Гука) и демпфера (жидкость Ньютона).

Ход решения:

Релаксация напряжений.

Построить с помощью математической программы Mathcad или какой-либо другой программы (в крайнем случае вручную по точкам) две кривые релаксации напряжений и графики их производных по времени при условиях;

- коэффициент динамической вязкости из первого домашнего задания;

, Па;

В первом случае ;

Во втором случае .

Например:

Рис.12. Кривые релаксации напряжений, построенные с помощью программы Mathcad на ПК.

Выводы:

1. Во многих реальных материалах, поведение которых можно описать уравнением вязкоупругого тела Максвелла, при постоянной деформации во времени самопроизвольно уменьшается напряжение, приближаясь асимптотически к нулю.
2. Интенсивность падения напряжения можно характеризовать временем релаксации, за которое напряжение уменьшается до 0,37 первоначального напряжения.