Тема работы № 3. Определения индекса течения и коэффициента консистенции жидкости Оствальда – Де Виля и характеристик ее течения в трубе

Цель: Ознакомиться со свойствами и характеристиками течения степенных жидкостей

Задачи: Изучить:

реологическую формулу степенной жидкости;

реологическую кривую течения в координатах напряжение и скорость сдвига; уравнение Рабиновича;

объемный расход и эпюры скоростей течения ньютоновской и степенной жидкости в трубе;

линеаризация степенной зависимости

Ход работы:

Многие пищевые среды, являющиеся сложными дисперсными средами из многокомпонентных органических природных полимеров, не подчиняются закону вязкости Ньютона и их вязкостные свойства нельзя описать одним параметром – коэффициентом вязкости. Эти свойства исследуются с помощью вискозиметров и различных реометров. Такие жидкости называются неньютоновскими. Иногда в литературе встречается термин – аномальные. Примером таких жидкостей могут быть степенные жидкости, которые описываются законом Оствальда - Де Виля.

(1)

где - реологическая константа, коэффициент консистенции;

- реологическая константа, индекс течения,

Этим законом описывается течение очень многих искусственных полимеров, а также смесей натуральных биологических органических полимеров – пищевых сред.

Рис. 1. Реологическая кривая течения в координатах напряжение и скорость сдвига. 1- кривая по точной интерполяционной формуле; 2 – действительная физически и экспериментально обоснованная кривая течения Оствальда-Де Виля степенной жидкости

Среди множества типов вискозиметров для исследования вязкостных свойств пищевых масс в первую очередь следует рекомендовать капиллярные и ротационные вискозиметры, потому что теория обработки данных измерений на этих приборах наиболее детально разработана. Причем если теория капиллярных вискозиметров проще, чем ротационных, и на капиллярных вискозиметрах сравнительно легко непосредственно моделировать и имитировать многие процессы формования и транспортирования пищевых масс, то при ротационной вискозиметрии требуется меньше испытываемой пищевой среды, проще достичь широкого диапазона скоростей сдвига и исследовать, кроме вязкостных свойств, вязкоупругие свойства пищевого продукта.

В литературе имеются также данные об инвариантности результатов капиллярной и ротационной вискозиметрии по сравнительному критерию инвариантности. Например, Кузнецов с сотрудниками исследовал свойства растворов желатина до 25 % на капиллярном вискозиметре типа Убеллоде–Гольда и на немецком ротационном вискозиметре «Реотест». Было обнаружено, что свойства высококонцентрированных растворов желатина можно описывать реологической моделью Шведова–Бингама, а сравнительная реометрия на двух указанных приборах дала совпадение результатов в пределах 5–15 %. Эти данные еще раз подтверждают совершенство теории капиллярных и ротационных вискозиметров и позволяют отнести эти вискозиметры к группе условно-абсолютных приборов, если следовать функциональной системе классификации реометров.

В опытах на капиллярных вискозиметрах обычно измеряются объемный или весовой расход протекающей среды и перепад давления при известных длине и диаметре капилляра. Задачей теории вискозиметра является определение связи между скоростями и напряжением сдвига в исследуемой среде безотносительно размеров капилляра. Рассматривая ламинарный изотермический стационарный осесимметричный поток среды в капилляре, легко по уравнению равновесия определить напряжение сдвига в любом коаксиальном слое капилляра:

(р ₂ – р ₁) p r ² – 2p rL t = 0 (2)

и

, (3)

где t – напряжение сдвига на цилиндрической поверхности участка потока; r – радиус мысленно вырезанного цилиндрического осесимметричного участка потока, равновесие которого рассматривается; L – расстояние между поперечными сечениями капилляра; р ₁, р ₂ – давление в начальном и конечном поперечных сечениях капилляра.

Как видно, напряжение сдвига не зависит от вязкостных свойств среды. Теперь необходимо по измеренному объемному расходу определить скорость сдвига; она разная в каждом слое текущей жидкости и зависит от реологического закона сдвигового течения среды, а закон этот априорно неизвестен, поскольку определение его является целью вискозиметрии.

. (4)

Формула (3) позволяет вычислить скорость сдвига на стенке капилляра. В этом же месте по формуле (2) можно рассчитать напряжение сдвига. Чтобы представить уравнение (3) через измеряемые при капиллярной вискозиметрии величины, воспользуемся еще раз формулой (2) и перепишем (3) в виде уравнения Рабиновича:

. (5)

Таким образом, уравнения (4) и (2) лежат в основе теории капиллярной вискозиметрии и позволяют по измеренному объемному расходу и перепаду давления при известной геометрии капилляра без всяких предварительных предположений о виде связи между скоростью и напряжением сдвига получить эту искомую связь. Знак минус связан с тем, что D р < 0.

(6)

Это уравнение при определенных значениях индекса течения и коэффициента консистенции переходит в формулу Пуазейля.

, .

Построить эпюру скоростей степенной жидкости на эпюре скоростей течения ньютоновской жидкости по формулам (7) и (8):

степенная жидкость

(7)

ньютоновская

(8)

Далее:

1. В координатной системе у = у(х) (где х - скорость сдвига, в диапазоне 0 – 200, с^-1; у - напряжение сдвига, в диапазоне 0 – 100, Па), провести две кривые, подобные изображенным на рис. 4 и рис. 5. В инженерной реологии, как уже указывалось в работе №1, приняты следующие обозначения: .

2.Вокруг кривых случайным образом расположить 20 (здесь в примерах 9) точек, моделируя этим результаты реометрии среды Оствальда-Де Виля (пример см. рис.4 и рис. 5)

Рис.2. Результаты реометрии среды Оствальда –Де Виля в случае упрочнения структуры среды при росте скорости сдвига Кривая построена с помощью программы CurveExpert.

Таблица № 1

x y

20 10

35 15

45 20

60 25

120 50

150 70

180 120

190 130

User-Defined Model: y=a*x^b

Coefficient Data:

a = 0.017006493

b = 1.696882

Рис.3. Результаты реометрии среды Оствальда –Де Виля в случае разрушения структуры среды при росте скорости сдвига. Кривая построена с помощью программы CurveExpert.

Таблица № 2.

20 30

35 40

50 34

60 40

120 50

150 50

180 60

190 90

User-Defined Model: y=a*x^b

Coefficient Data:

a = 6.8756474

b = 0.43899932

Составить таблицы № 1 и № 2 полученных таким образом экспериментальных данных.

Рассчитать коэффициенты консистенции и индексы течения для обоих случаев. В данных примерах:

User-Defined Model: y=a*x^b

Coefficient Data:

a = 0.017006493

b = 1.696882

User-Defined Model: y=a*x^b

Coefficient Data:

a = 6.8756474

b = 0.43899932

Рассчитать объемный расход при течении жидкости в трубе со следующими исходными данными с помощью Mathcad:

Дано: Индексы течения b и коэффициенты консистенции a.

1 случай:

a = 0.017006493

b = 1.696882

2 случай:

a = 6.8756474

b = 0.43899932

R=0.05 -радиус трубы;

L=500 -длина трубы;

p=340000 -перепад давлений

Решение:

1 случай:

a = 0.017006493

b = 1.696882

2 случай:

a = 6.8756474

b = 0.43899932

Построить эпюры скоростей течения жидкости в трубе степенной и ньютоновской жидкостей:

Рис.4. Эпюры скоростей течения степенной и ньютоновской жидкостей в трубе

Рассчитать по методу средних и с помощью математической программы на ПК реологические константы степенной жидкости, пересчитав данные таблицы № 1 и 2 в логарифмах (линеаризация степенной зависимости)

Воспользуемся данными из таблиц, найдём коэффициенты n и k, используя логарифмирование.

=

Выводы

1. Степенное реологическое уравнение можно линеализировать логарифмированием

и использовать метод средних для определения индекса течения и коэффициента консистенции.

2.. Если индекс течения меньше единицы, то кривая течения искривляется в верх, если больше единицы – то направо (см. рисунки), если индекс течения равен единице – то это не степенная жидкость, а ньютоновская и коэффициент консистенции является коэффициентом динамической вязкости.

Тема работы № 4. Определения по результатам капиллярной вискозиметрии предельного напряжения сдвига и коэффициента пластической вязкости среды Шведова-Бингама и характеристики ее течения в трубе

Цель: Ознакомиться со средой Шведова-Бингама

Задачи: Рассмотреть течение неньютоновских жидкостей в трубах, определить зависимости между пропускной способностью и перепадом давления при ламинарном течении в круглых трубах, научиться вычислять профиль скоростей течения среды Шведова-Бингама.

Ход работы:

Для напряжения трения на стенке получаем:

(1)

Интегрирование дает:

,(2)

Поскольку u(R)=0 при допущении справедливости условия прилипания жидкости на стенке (отсутствие скольжения). Далее находим:

(3)

Интегрирование по частям даёт:

(4)

Так как и (R)=0.

Бингамовский пластик.

Исходным соотношением является:

Где f() – непрерывная функция такая, что

0<

И

При течении в трубе напряжения трения падают до нуля на оси, а в приосевой области, где напряжения сдвига ниже предела текучести материал не подвергается сдвигу, перемещаясь вдоль как твёрдый стержень. Это иллюстрирует профиль скоростей.

Подстановка в формулу (4) даёт:

Выполняя интегрирование и подставив получим формулу:

(5)

Известную под названием формула Букингема-Рейнера. Это уравнение нельзя разрешить относительно перепада давления. Когда предел текучести равен нулю, оно совпадает с формулой Пуазейля. Колдуэлл и Бэбит успешно применили уравнение Букингема к задаче о течении грязей и шламов.

Для бингамовского идеально пластичного тела имеем:

Интегрирование последнего выражения даёт:

(6)

С учётом, что u=0 при r=R.

Вблизи оси материал будет двигаться как твёрдый цилиндрический стержень с радиусом

Подставив отсюда значение радиуса в (6), получим скорость квазитвёрдого движения:

Для известных значений , и профиль скоростей можно вычислить из формул (5) и (6).Соответствующий расход определяется уравнением (5).

Задание: рассчитать предельное напряжение сдвига и коэффициент пластической вязкости, построить эпюру скоростей течения.

Начертить координатную плоскость Произвольно провести прямую С из начала координат. Вокруг прямой С произвольно расставить 20 точек и на основании координат этих точек составить таблицу.

Рис.1. Имитация результатов реометрии среды Шведова –Бингама.

Реологическое уравнение Шведова-Бингама имеет вид:

Находим коэффициент К, используя систему уравнения:

Отсюда вычисляем коэффициент К:

Находим τ₀ по формуле:

Рассчитаем радиус x₀ жесткого ядра потока и скорость потока V.

Из уравнения равновесия получим:

Предельное напряжение сдвига определяет толщину жесткого ядра потока:

Реологическое уравнение Шведова-Бингама имеет вид:

к виду, удобному для интегрирования:

Произведём замену переменных → и интегрируем:

Определим скорость потока ядра:

Касательное напряжение на стенке канала определяет формула вида:

Вычисляем радиус стержневого потока(ядра):

Рис.10. Эпюра скоростей течения среды Шведова-Бингама

Выводы:

1. Среда Шведова –Бингама деформируется упруго и не течет, когда напряжение на стенке капилляра меньше предельного напряжения сдвига.
2. При течении среды Шведова-Бингама в трубе образуется центральное ядро, в котором скорости течения одинаковые и не зависят от текущего радиуса (см. рис.10).
3. Расход при течении среды Шведова –Бингама в трубе определяется формулой Букингема-Рейнера (см. формулу (5))