Тема 20 Аналитическая запись кусочно-заданной функции по ее графику

Теория

Практика

Квадратичная функция   Линейная функция Обратная пропоциональность.     Функция у= Полезно вспомнить: Решение сложных задачцелесообразно начать с повторения алгоритмарешения системы уравнений с 2-мя неизвестными: -Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие величины; -Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин; -Решить уравнение (или систему уравнений); -Сделать проверку при необходимости; -Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи; -Оформить ответ.     При решении систем: Способ подстановки применим при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом: 1.Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую. 2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени 3.Решают получившееся уравнение. 4. Находят соответствующие значения второй переменной.

1. Прямая касается окружности в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Решение. 1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение , т.е. . 2) Плученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем: . Решив уравнение , получим: . 3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: и . Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение : при получим уравнение , откуда ; этот корень не удовлетворяет условию задачи; при получим уравнение , откуда ; этот корень удовлетворяет условию задачи; Найдем соответствующее значение y: . Координаты точки касания: (6;2). Ответ: (6;2). 2. Прямая , где с — некоторое число, касается гиперболы в точке с отрицательными координатами. Найдите с. Решение. Из уравнения выразим y: . Графики функций и имеют единственную общую точку в том и только том случае, если уравнение имеет один корень. Получаем: ; ; . Так как точка касания имеет отрицательные координаты, то (учащиеся могут прийти к этому выводу хотя бы из геометрических соображений). Поэтому, условию задачи удовлетворяет только (в этом случае получаем прямую , которая касается ветви гиперболы, расположенной в третьей четверти, т.е. в точке с отрицательными координатами). Комментарий. Подробное обоснование, почему выбрано значение , не требуется. Возможно наличие схематичного рисунка. Ответ: . 3. Прямая касается окружности в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Решение. 1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение , т.е. . 2) Плученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем: . Решив уравнение , получим: . 3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: и . Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение : при получим уравнение , откуда ; этот корень не удовлетворяет условию задачи; при получим уравнение , откуда ; этот корень удовлетворяет условию задачи; Найдем соответствующее значение y: . Координаты точки касания: (3;1). Ответ: (3;1). Замечание. Выбрать касательную, удовлетворяющую условию задачи, можно и из графических соображений. Для этого достаточно схематически изобразить окружность и две прямые.

Реши сам:

1. Найдите все значения k, при которых прямая пересекает в трех различных точках график функции

.

2. При каких отрицательных значениях k прямая пересекает параболу в двух точках?

3. При каких отрицательных значениях k прямая и парабола не пересекаются?

4. Постройте график функции:

При каких значениях m прямая имеет с графиком этой функции две общие точки?

5. Постройте график функции:

При каких значениях m прямая имеет с графиком этой функции одну общую точку?

6. При каких значениях а отрезок с концами в точках А (-5;-6) и В (-5; а) пересекает прямую ?

7. При каких значениях а отрезок с концами в точках А (-3; a) и В (-3;-8) пересекает прямую ?

Вернуться в содержание