Парабола и её каноническое уравнение

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус и называемой директрисой.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице.

Опустим из фокуса перпендикуляр на директрису и точку пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы обозначим буквой . Введём на плоскости ДПСК, поместив начало координат в центре отрезка , принимая за ось прямую , с положительным направлением от к (См. рис.176).

Рис. 176

Расстояние от фокуса до директрисы обозначим буквой (это параметр параболы). В выбранной системе координат фокус имеет координаты . Уравнение директрисы .

Пусть - произвольная точка плоскости. Обозначим через расстояние от точки до фокуса параболы, а через - расстояние от точки до директрисы этой параболы.

Точка лежит на данной параболе тогда и

только тогда, когда . Так как ,

а , то уравнение параболы имеет вид:

. Это уравнение эквивалентно следующему уравнению: .

Или: (1)

Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

§ 121. Исследование формы параболы.

Так как ордината в каноническое уравнение параболы входит во второй степени, то ось является осью симметрии параболы .

Определение. Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы. Парабола (1) имеет только одну вершину .

Из уравнения следует, что (т.к. , а ). Разрешая уравнение относительно и беря для лишь неотрицательное значение , видим, что в полуинтервале - возрастающая функция , причём .

Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках (т.к. прямая определяется уравнением первой степени, а парабола - второй. Проведённое исследование даёт представление о форме параболы (См. рис. 177).

Рис. 177

Замечание. Уравнение , где сводится к уравнению заменой на , т.е. путём преобразования системы координат, которое соответствует изменению положительного направления оси на противоположное.

Отсюда следует, что парабола симметрична с параболой относительно оси (См. рис.178). Аналогичными рассуждениями устанавливаем, чтокаждое из уравнений: ; (2) где определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии (См. рис. 179, 180).

Рис. 179

Уравнение (2) пишут часто в виде, разрешённом относительно ординаты : , где ; ().

§ 123. Касательная к параболе.

В курсе математического анализа доказывается, что если функция в точке имеет производную, то уравнение касательной к линии, выражаемой уравнением в точке , где имеет вид: . Теперь, если парабола задана уравнением , , то уравнение касательной к ней в точке будет иметь вид: . Раскрываем скобки: , и, т.к. , откуда , то или (3)

Полагая в уравнении (3) , находим точку , пересечения касательной к параболе (3) с её осью симметрии.

Отсюда вытекает следующий способ построения касательной к параболе в данной точке . Опускаем из точки перпендикуляр на ось симметрии параболы и откладываем на оси симметрии параболы отрезок (См. рис.). Прямая и будет касательной к параболе в точке .

§ 124. Оптическое свойство параболы.

Теорема 1. Касательная к параболе является биссектрисой угла между фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром , опущенным из точки касания на директрису.

Рис. 183. Рис. 184.

Доказательство. Имеем (См. рис. 184): , . Но , . Следо-вательно: , т.е. . Поэтому треугольник равнобедренный и, значит: ; но ; следовательно . Что и требовалось доказать.

Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование: если в фокусе параболического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись от зеркала, образуют пучок параллельных лучей. Указанное свойство параболического зеркала применяется при устройстве зеркальных прожекторов.

§ 125. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Часто используют уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Мы фиксируем полюс полярной системы координат в фокусе кривой. При этом для эллипса выбираем левый фокус, а для гиперболы - правый. Полярную ось выбираем так, чтобы её направление совпадало с положительным направлением оси абсцисс.

Все три вида кривых описываются общим свойством: для любой точки отношение расстояний до фокуса и до директрисы постоянно и равно эксцентриситету кривой. Значение эксцентриситета определяет тип кривой. Если зафиксировать фокальный параметр (это расстояние от фокуса до директрисы) так, что положение директрисы в выбранной системе координат будет оставаться неизменным, то варьируя эксцентриситет, получим единый ряд эллипсов, параболы, правых ветвей гипербол (См. рис. 11.25). Конкретная кривая определяется своим эксцентриситетом при помощи уравнения: , (4)

где - полярный, он же фокальный радиус точки на кривой, - перпендикуляр, опущенный из точки на директрису (См. рис. 11.25).

Так как , то подставив это выражение в (4), получим: или (5)

Уравнение (5) называется полярным уравнением эллипса, параболы, правой ветви гиперболы.

§ 126. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.

Рассмотрим поверхность прямого кругового конуса, неограниченно простирающегося по обе стороны от его вершины.

Плоскость, проходящая через вершину конуса может занимать относительно этого конуса следующие три положения:

1) Иметь с конусом только одну общую точку (вершину конуса (См. рис.187)).

2) Касаться конуса вдоль его образующей (См. рис.188).

3) Пересекать конус по двум различным его образующим (См. рис.189).

Плоскость, не проходящая через вершину конуса, может занимать относительно конуса также три различных положения: 1) Пересекать все образующие конуса (См.рис.190)

2) Быть параллельной только одной образующей конуса (См. рис.191).

3) Быть параллельной двум различным образующим конуса (См. рис.192).

Теорема 2. Плоскость, не проходящая через вершину прямого кругового конуса, пересекает его по эллипсу, если она пересекает все образующие конуса (См. рис.190), по параболе, если она параллельна только одной образующей конуса (См. рис.191) и по гиперболе, если она параллельна двум образующим конуса (См. рис.192).

Доказательство. Для доказательства рассмотрим прямой круговой конус, который в прямоугольной системе координат описывается уравнением:

(6)

и геометрически получается при вращении вокруг оси прямой , принадлежащей координатной плос-кости . В силу круговой симметрии поверхности (6) можно ограничиться только сечениями при помо-щи плоскостей, перпендикулярных координатной пло-скости . Таким плоскостям соответствуют уравнения , .

Если , то секущая плоскость описывается уравнением , где и параллельна координатной плоскости . Подставив значение абсциссы в уравнение конуса (6), найдём, что сечение в плоскости описывается уравнением и при определяет собой равностороннюю гиперболу (См. рис.12.24), а при пару прямых, которые являются образующими конусам. Рис.12.24.

Пусть теперь в уравнении секущей плоскости коэффициент . Тогда плоскость можно представить уравнением , где , . В силу симметрии конуса относительно плоскости достаточно ограничиться случаем, когда .

Коническое сечение для рассматриваемой плоскости в пространстве будет описываться системой двух уравнений (7)

Чтобы получить уравнение секущей плоскости, рассмотрим прямоугольную систему координат ,

взяв в качестве координатных осей и прямые, являющиеся пересечением секущей плоскости с координатными плоскостями и (См.рис. 12.25).

Координаты и произвольной точки в секущей плоскости будут связаны с её координатами , и в пространстве соотношениями:

(8)

где - угол между коническим сечением, перпендикулярным координатной плоскости , и координатной плоскостью , причём , а .

Подставляя (8) в первое уравнение системы (7), т.е. в уравнение , получим уравнение конического сечения в системе координат :

. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим:

. (9)

При , когда секущая плоскость образует с плоскостью тот же угол, что и образующие конуса, конические сечения будут представлять собой параболы (См. рис.) и описываться уравнением:

.

Варьируя параметр в уравнении секущей плоскости, в качестве конического сечения можно получить любую параболу.

При , уравнение (9) принимает вид:

. (10)

Здесь возможны два варианта. При , т.е. когда секущая образует с плоскостью меньший угол, чем образующие конуса, будет выполнено неравенство и поэтому уравнение (10) конического сечения будет уравнением эллипса (См. рис. 12.26).

И здесь варьируя параметры и в уравнении секущей плоскости, мы можем получить в сечении любой эллипс.

При , т.е. когда секущая плоскость образует с плоскостью больший угол, чем образующие конуса, имеем , так что коническое сечение, описываемое уравнением (10) будет являться гиперболой (См. рис.). Варьируя параметры и можно получить в коническом сечении любую гиперболу.