Кручение стержня треугольного сечения

Рассмотрим стержень с равносторонним треугольным сечением (рис. 3.37).

Рис. 3.37

Контур сечения определяется уравнением

(141)

Примем функцию депланации в виде

(142)

Она удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому является решением задачи Сен-Венана о кручении.

Подставляя (142) в граничные условия (113), получаем:

,

откуда следует:

(143)

где С – постоянная интегрирования.

Если в (143) положить , , то получим:

(144)

Первая часть полученного уравнения (144) представляет собой произведение левых частей уравнений сторон равностороннего треугольника (рис. 3.37). Поэтому контурные условия всегда выполняются.

Вычислим геометрическую жёсткость:

(145)

Интегрирование по ведётся от до и по от нуля до . В результате получим:

,

где

Относительный угол поворота:

Вычисляем напряжения:

Полагая получаем:

Эпюра для у = 0 показана на рис. 3.37.

Вопросы для самопроверки

- Какое напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным) и линейным (одноосным)?

- Понятие о сложном напряженном состоянии.

- Какие площадки называются главными?

- Какие напряжения называются главными?

- Виды напряженного состояния.

- Соотношение между главными напряжениями.

- Понятие о теориях (гипотезах) прочности.

- Какие теории (гипотезы) прочности применяются наиболее часто?

- Каково правило законов для нормальных и касательных напряжений?

- Сформулируйте закон парности касательных напряжений.

- Чему равна сумма нормальных напряжений, действующих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках?

- Что такое главные напряжения и главные площадки? Как расположены главные площадки относительно друг друга?

- Чему равны касательные напряжения на главных площадках?

- Напишите формулы для определения главных напряжений и углов наклона главных площадок.

- Как определить положение главной площадки, по которой действует главное напряжение s_max в общем случае плоского напряженного состояния?

- Чему равны максимальные значения касательных напряжений в случае плоского напряженного состояния?

- Какие площадки называются площадками сдвига и под каким углом они наклонены к главным площадкам?

- Чему равна сумма нормальных напряжений на любых трех взаимно перпендикулярных площадках?

- Чему равны максимальные и минимальные касательные напряжения (при заданных напряжениях s₁, s₂, s₃) и по каким площадкам они действуют?

- Напишите формулы, обобщенного закона Гука?

- На основе какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, получен обобщенный закон Гука?

- Что называется полной удельной потенциальной энергией деформации, удельной потенциальной энергией изменения объема и формы?

- Какой случай плоского напряженного состояния называется чистым сдвигом?

- Напишите закон Гука при сдвиге.

- Докажите, что объемная деформация при чистом сдвиге равна нулю.

- Напишите зависимость между модулем упругости Е и модулем сдвига G.

- Что называется предельным опасным состоянием материала? Чем характеризуется наступление опасного состояния для пластичных и хрупких материалов?

- Какая точка тела называется опасной?

- Что называется допускаемым напряженным состоянием?

- Почему определение прочности в случаях сложного (плоского или пространственного) напряженного состояния приходится производить на основе результатов опытов, проводимых при одноосном напряженном состоянии?

- Что представляют собой теории прочности?

- Сформулируйте первую и вторую теории прочности. Укажите область применения.

- Сформулируйте третью и четвертую теории прочности? Укажите область применения этих теорий.

- На основе какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, составлены выражения

обобщенного закона Гука?

1. Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке.

2. Материал конструкции обладает свойством идеальной упругости.

3. Поперечные сечения бруса, плоские до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и при действии нагрузки.

4. Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности.

- Чему равна сумма нормальных напряжений на любых трех взаимно перпендикулярных площадках?

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

- Главные напряжения:

1. нормальные и касательные напряжения;

2. нормальные напряжения, действующие на главных площадках;

3. касательные напряжения на главных площадках.

- Соотношение между главными напряжениями.

1. ;

2. ;

3. .

- Главное напряжение - наибольшее?

1. да;

2. нет;

3. наибольшее .

- Теории (гипотезы) полностью объясняют прочность материала?

1. да;

2. при нормальных температурах;

3. с некоторой погрешностью.

- Какие теории (гипотезы) прочности наиболее достоверны?

1. 3-я и 4-я;

2. 1-я и 2-я;

3. .