Главные оси и главные напряжения в плоских задачах

Рассмотрим напряжённое состояние, характеризуемое тензором напряжений:

Если , то напряжённое состояние называется плоским. Если , то напряжённое состояние соответствует плоской деформации. Найдём экстремальные значения нормального напряжения для плоских задач.

Дифференцируя выражение (35) для по , и приравниваем полученный результат к нулю:

откуда получаем:

. (36)

Из (36) находим два значения угла и (рис. 3.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.

Рис. 3.13

Экстремальные значения напряжений и называются главными нормальными напряжениями. На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Поэтому третья площадка, на которой действует нормальное напряжение , будет также главной. Главным будет напряжение .

Так как

то, с учётом (36) из (35), получаем значения главных нормальных напряжений:

(37)

Обычно принято главные напряжения нумеровать так, чтобы .

В частном случае чистого сдвига (рис. 3.14).

Рис. 3.14

Из (37) получаем:

В случае растяжения напряжениями и чистого сдвига напряжениями имеем:

Если частица отнесена к главным осям (рис. 3.15), то формулы (35) принимают вид

(38)

Из (38) видно, что максимальное касательное напряжение по модулю возникает при т.е. на площадках, наклонённых к главным осям под углом . В этом случае

(39)

Рис. 3.15

Как видно из (39), на площадке, где действует , нормальное напряжение отлично от нуля и равно полусумме нормальных напряжений , .

Date: 2015-05-22; view: 571; Нарушение авторских прав